整数論の問題

有理数 $\frac{172}{75}$ の正則連分数展開を
$$\frac{172}{75}=[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,\dots ,a_n$ は正の整数で、$n\geqq 1$ のとき最後の項は $a_n\geqq 2$ とする。第 $k$ 近似分数を $\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots ,a_k]$（既約分数、$q_k>0$）と表すとき、最後から 2 番目の近似分数 $\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$ を既約分数で求めよ。

有理数 $\frac{61}{27}$ の正則連分数展開を
$$\frac{61}{27}=[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,\dots ,a_n$ は正の整数であり、$n\geqq 1$ のとき最後の項は $a_n\geqq 2$ とする。第 $k$ 近似分数を $\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots ,a_k]$（既約分数、$q_k>0$）と表すとき、$\frac{p_2}{q_2}$ を求めよ。

有理数 $\frac{67}{29}$ の正則連分数展開を
$$\frac{67}{29}=[a_0;a_1,a_2,a_3]=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}}$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,a_2,a_3$ は正の整数で、$a_3\geqq 2$ とする。$k=0,1,2,3$ に対して、第 $k$ 近似分数を $\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots ,a_k]$（既約分数、$q_k>0$）と定める。近似分数 $\frac{p_2}{q_2}$ を既約分数で求めよ。

$\sqrt{14}$ の正則連分数展開を $\sqrt{14}=[a_0;a_1,a_2,\dots ]$ とし、0 以上の整数 $n$ に対して第 $n$ 近似分数を
$$\frac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,\dots ,a_n]$$
（$p_n,q_n$ は互いに素な正の整数）とする。$n$ が 0 以上のすべての整数を動くとき、$p_n^2-14q_n^2$ のとる値をすべて求めよ。答えは集合の形で答えよ。

実数 $x$ の正則連分数展開が
$$x=[1;2,3,2,3,2,3,\dots ]=1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\cdots }}}}$$
であるとする。ここで $a_0=1$ のあと、部分商は $2,3$ を交互に限りなく繰り返す。$x$ の値を求めよ。