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整数論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学整数論

$14$ の正則連分数展開を $14 = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots]$ とし、0 以上の整数 $n$ に対して第 $n$ 近似分数を
$\frac{p _{n}}{q _{n}} = [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{n}]$
（ $p_{n}, q_{n}$ は互いに素な正の整数）とする。 $n$ が 0 以上のすべての整数を動くとき、 $p_{n}^{2} - 14 q_{n}^{2}$ のとる値をすべて求めよ。答えは集合の形で答えよ。

この問題で使うもの

√d の連分数展開とペル方程式の基本解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「√d の連分数展開とペル方程式の基本解」を使います。まず $m_{n + 1} = a_{n} Q_{n} - m_{n}$ , $Q_{n + 1} = \frac{d - m _{n + 1}^{2}}{Q _{n}}$ の漸化式で $14$ を連分数展開しましょう。

ヒント 2

$p_{n}^{2} - 14 q_{n}^{2} = (- 1)^{n + 1} Q_{n + 1}$ が成り立つので、1 周期分の $Q_{n}$ がわかれば値はすべてわかります。

ヒント 3

$a_{0} = 3$ で、 $(m_{1}, Q_{1}) = (3, 5)$ , $(m_{2}, Q_{2}) = (2, 2)$ , $(m_{3}, Q_{3}) = (2, 5)$ , $(m_{4}, Q_{4}) = (3, 1)$ となり、 $14 = [3; 1, 2, 1, 6]$ です。あとは符号に注意して $(- 1)^{n + 1} Q_{n + 1}$ を並べます。

答えと解説

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{- 5, 1, 2}

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解説を読む

手順 1：漸化式で連分数展開を求める。

$m_{0} = 0, Q_{0} = 1$ とし、
$a_{n} = ⌊ \frac{a _{0} + m _{n}}{Q _{n}} ⌋, m_{n + 1} = a_{n} Q_{n} - m_{n}, Q_{n + 1} = \frac{14 - m _{n + 1}^{2}}{Q _{n}}$
をくり返す。 $3 < 14 < 4$ より $a_{0} = 3$ 。

$m_{1} = 3 \cdot 1 - 0 = 3$ , $Q_{1} = \frac{14 - 9}{1} = 5$ , $a_{1} = ⌊ \frac{3 + 3}{5} ⌋ = 1$
$m_{2} = 1 \cdot 5 - 3 = 2$ , $Q_{2} = \frac{14 - 4}{5} = 2$ , $a_{2} = ⌊ \frac{3 + 2}{2} ⌋ = 2$
$m_{3} = 2 \cdot 2 - 2 = 2$ , $Q_{3} = \frac{14 - 4}{2} = 5$ , $a_{3} = ⌊ \frac{3 + 2}{5} ⌋ = 1$
$m_{4} = 1 \cdot 5 - 2 = 3$ , $Q_{4} = \frac{14 - 9}{5} = 1$ , $a_{4} = ⌊ \frac{3 + 3}{1} ⌋ = 6$
$m_{5} = 6 \cdot 1 - 3 = 3 = m_{1}$ , $Q_{5} = \frac{14 - 9}{1} = 5 = Q_{1}$

$(m_{5}, Q_{5}) = (m_{1}, Q_{1})$ なので以後くり返し、
$14 = [3; 1, 2, 1, 6]$
（周期の長さ $4$ 、最後は $2 a_{0} = 6$ ）。また $n ≧ 1$ で $Q_{n + 4} = Q_{n}$ であり、 $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, Q_{4}, \dots = 5, 2, 5, 1, 5, 2, 5, 1, \dots$ となる。

手順 2：公式 $p_{n}^{2} - 14 q_{n}^{2} = (- 1)^{n + 1} Q_{n + 1}$ を使う。

$n = 0$ : $(- 1)^{1} Q_{1} = - 5$
$n = 1$ : $(- 1)^{2} Q_{2} = 2$
$n = 2$ : $(- 1)^{3} Q_{3} = - 5$
$n = 3$ : $(- 1)^{4} Q_{4} = 1$

$Q_{n + 1}$ は周期 $4$ でくり返し、符号 $(- 1)^{n + 1}$ も $n$ を $4$ 増やしても変わらないので、 $n ≧ 4$ でも値は $- 5, 2, - 5, 1$ のくり返しになる。

確認： 近似分数を $p_{n} = a_{n} p_{n - 1} + p_{n - 2}$ , $q_{n} = a_{n} q_{n - 1} + q_{n - 2}$ で計算すると $\frac{3}{1}, \frac{4}{1}, \frac{11}{3}, \frac{15}{4}$ で、
$9 - 14 = - 5, 16 - 14 = 2, 121 - 126 = - 5, 225 - 224 = 1$ となり一致する（特に $(15, 4)$ は $x^{2} - 14 y^{2} = 1$ の基本解）。

よって、とる値は ${- 5, 1, 2}$ である。

別解

$14 = [3; 1, 2, 1, 6]$ である。 $m_{0} = 0, d_{0} = 1, a_{0} = 3$ から $m_{k + 1} = a_{k} d_{k} - m_{k}$ 、 $d_{k + 1} = (14 - m_{k + 1}^{2}) / d_{k}$ 、 $a_{k + 1} = ⌊(3 + m_{k + 1}) / d_{k + 1} ⌋$ で計算すると、 $d_{1} = 5, d_{2} = 2, d_{3} = 5, d_{4} = 1$ で、以後 $d_{5} = 5$ から周期 4 で繰り返す。

連分数の性質より $p_{n}^{2} - 14 q_{n}^{2} = (- 1)^{n + 1} d_{n + 1}$ である。

$n = 0$ : $3/1$ で $9 - 14 = - 5$
$n = 1$ : $4/1$ で $16 - 14 = 2$
$n = 2$ : $11/3$ で $121 - 126 = - 5$
$n = 3$ : $15/4$ で $225 - 224 = 1$

$n = 4$ 以降は $- 5, 2, - 5, 1$ を周期 4 で繰り返す。

よって、とる値は ${- 5, 1, 2}$ である。

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