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整数論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学整数論

有理数 $\frac{61}{27}$ の正則連分数展開を
$\frac{61}{27} = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$
とする。ここで $a_{0}$ は整数、 $a_{1}, \dots, a_{n}$ は正の整数であり、 $n ≧ 1$ のとき最後の項は $a_{n} ≧ 2$ とする。第 $k$ 近似分数を $\frac{p _{k}}{q _{k}} = [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{k}]$ （既約分数、 $q_{k} > 0$ ）と表すとき、 $\frac{p _{2}}{q _{2}}$ を求めよ。

この問題で使うもの

連分数展開と近似分数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「連分数展開と近似分数」の技能を使います。まずユークリッドの互除法で $61$ と $27$ の割り算をくり返し、商を並べて連分数展開を求めましょう。

ヒント 2

近似分数は漸化式 $p_{k} = a_{k} p_{k - 1} + p_{k - 2}$ , $q_{k} = a_{k} q_{k - 1} + q_{k - 2}$ （ $p_{- 2} = 0, p_{- 1} = 1, q_{- 2} = 1, q_{- 1} = 0$ ）で順に計算できます。

ヒント 3

互除法から $\frac{61}{27} = [2; 3, 1, 6]$ です。 $p_{0} / q_{0} = 2/1$ , $p_{1} / q_{1} = 7/3$ まで求まったら、もう 1 段進めましょう。

答えと解説

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\frac{9}{4}

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解説を読む

1. 互除法で連分数展開を求める。

割り算をくり返します。
$61 = 2 \cdot 27 + 7, 27 = 3 \cdot 7 + 6, 7 = 1 \cdot 6 + 1, 6 = 6 \cdot 1 + 0$
各段の商を順に並べると $a_{0} = 2, a_{1} = 3, a_{2} = 1, a_{3} = 6$ です。最後の項は $6 ≧ 2$ なので条件をみたし、
$\frac{61}{27} = [2; 3, 1, 6] = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6}}}$
となります。

2. 漸化式で近似分数を計算する。

$p_{- 2} = 0, p_{- 1} = 1, q_{- 2} = 1, q_{- 1} = 0$ とおき、
$p_{k} = a_{k} p_{k - 1} + p_{k - 2}, q_{k} = a_{k} q_{k - 1} + q_{k - 2}$
を使います。

$k = 0$ : $p_{0} = 2 \cdot 1 + 0 = 2$ , $q_{0} = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
$k = 1$ : $p_{1} = 3 \cdot 2 + 1 = 7$ , $q_{1} = 3 \cdot 1 + 0 = 3$
$k = 2$ : $p_{2} = 1 \cdot 7 + 2 = 9$ , $q_{2} = 1 \cdot 3 + 1 = 4$
$k = 3$ : $p_{3} = 6 \cdot 9 + 7 = 61$ , $q_{3} = 6 \cdot 4 + 3 = 27$

最後が $\frac{61}{27}$ に戻るので、計算が正しいことがわかります。

3. 関係式で確かめる。

$p_{3} q_{2} - p_{2} q_{3} = 61 \cdot 4 - 9 \cdot 27 = 244 - 243 = 1 = (- 1)^{3 - 1}$ となり、 $p_{n} q_{n - 1} - p_{n - 1} q_{n} = (- 1)^{n - 1}$ と一致します。直接計算でも $[2; 3, 1] = 2 + \frac{1}{3 + 1} = \frac{9}{4}$ です。

よって $\frac{p _{2}}{q _{2}} = \frac{9}{4}$ です。

別解

ユークリッドの互除法を用いる。 $61 = 2 \cdot 27 + 7$ より $a_{0} = 2$ 。 $27 = 3 \cdot 7 + 6$ より $a_{1} = 3$ 。 $7 = 1 \cdot 6 + 1$ より $a_{2} = 1$ 。 $6 = 6 \cdot 1$ より $a_{3} = 6$ 。よって $\frac{61}{27} = [2; 3, 1, 6]$ であり、最後の項 $a_{3} = 6 ≧ 2$ を満たす。

漸化式 $p_{k} = a_{k} p_{k - 1} + p_{k - 2}$ , $q_{k} = a_{k} q_{k - 1} + q_{k - 2}$ （ $p_{- 1} = 1, p_{- 2} = 0, q_{- 1} = 0, q_{- 2} = 1$ ）を用いる。
$p_{0} = 2, q_{0} = 1$ 。
$p_{1} = 3 \cdot 2 + 1 = 7, q_{1} = 3 \cdot 1 + 0 = 3$ 。
$p_{2} = 1 \cdot 7 + 2 = 9, q_{2} = 1 \cdot 3 + 1 = 4$ 。
よって $\frac{p _{2}}{q _{2}} = \frac{9}{4}$ 。

検算： $[2; 3, 1] = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ 。 $p_{3} = 6 \cdot 9 + 7 = 61, q_{3} = 6 \cdot 4 + 3 = 27$ となり、 $\frac{61}{27}$ に一致する。9 と 4 は互いに素で既約。

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