技能一覧 › 数学I 数と式

整数部分と小数部分

$2<\sqrt{5}<3$ のような評価から根号を含む数の整数部分 $a$ を求め、小数部分を $b=x-a$ と表して、$b$ を含む式の値を求められる

前提

• 根号を含む式の計算と分母の有理化 （数学I 数と式）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. $x$ を扱いやすい形にする。分母に根号があれば有理化する（例: $\frac{2}{3-\sqrt{5}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）。

2. 根号の中の数を、連続する整数の平方で挟む。例: $2^2<5<3^2$ から $2<\sqrt{5}<3$。

3. その不等式の各辺に同じ数を足す、同じ正の数を掛ける・割るなどして、$x$ についての不等式 $n\le x<n+1$（$n$ は整数）の形にする。

4. 整数部分を $a=n$ とし、小数部分を $b=x-a$ と根号のまま正確に表す。

5. 求めたい式に $b$ を代入して計算する。$b+a=x$ を使って式を変形すると、計算が楽になることがある。

例題

よくある誤り

• 小数部分を $b\fallingdotseq 0.236$ のような近似値で表してしまう誤り。近似値では式の値が正確に求まらない。正しくは $\sqrt{5}$ の小数部分を $b=\sqrt{5}-2$ と根号のまま表す。

• $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ の整数部分を、$\sqrt{5}$ を整数部分の $2$ に置き換えて $\frac{3+2}{2}=2.5$ と計算し、そこから決めようとする誤り。置き換えた値を小数部分の計算にまで使うと、$b=2.5-2=0.5$ のような誤った値になる。正しくは不等式 $2<\sqrt{5}<3$ の各辺を変形し、$\frac{5}{2}<\frac{3+\sqrt{5}}{2}<3$ から整数部分 $2$ を求め、小数部分は $b=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ と正確に表す。

• 負の数の整数部分を、符号を付けただけで決めてしまう誤り。$-\sqrt{2}$ の整数部分を $-1$ とすると、小数部分が $-\sqrt{2}+1<0$ となって $0\le b<1$ を満たさない。正しくは $1<\sqrt{2}<2$ の各辺に $-1$ を掛けて（不等号の向きが逆になる）$-2<-\sqrt{2}<-1$ とし、整数部分は $-2$、小数部分は $-\sqrt{2}-(-2)=2-\sqrt{2}$。

• 不等式の変形で不等号の向きを誤る誤り。$2<\sqrt{5}<3$ から $3-\sqrt{5}$ を挟むとき、各辺に $-1$ を掛けると不等号の向きが逆になるので $-3<-\sqrt{5}<-2$、各辺に $3$ を足して $0<3-\sqrt{5}<1$。$1<3-\sqrt{5}<0$ のように向きを変えずに書いてはいけない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $\sqrt{11}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とする。このとき、$b^2+6b$ の値を求めよ。ただし、実数 $x$ の整数部分とは $x$ を超えない最大の整数のことであり、小数部分とは $x$ から整数部分を引いた値のことである。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $\sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とする。このとき、$b^2+6b$ の値を求めよ。ただし、実数 $x$ の整数部分とは $x$ を超えない最大の整数のことであり、$x$ の小数部分とは $x$ からその整数部分を引いた数のことである。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $\sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とする。このとき、$b^2+6b$ の値を求めよ。ただし、実数 $x$ の整数部分とは $x$ を超えない最大の整数のことであり、$x$ の小数部分とは $x$ から整数部分を引いた値のことである。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  $x=\frac{2}{3-\sqrt{5}}$ とする。$x$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、
  $$\frac{a}{b}-b^2-b$$
  の値を求めよ。ただし、$x$ の整数部分とは $x$ を超えない最大の整数のことであり、小数部分とは $b=x-a$ で定まる数のことである。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  $\frac{2}{3-\sqrt{7}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とする。このとき、$b^2+4b+a$ の値を求めよ。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  $\frac{2}{3-\sqrt{5}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とする。このとき、$a^2+ab+b^2$ の値を求めよ。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  $x=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$ とする。$x$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$b^2+\frac{a}{b}$ の値を求めよ。ただし、実数 $x$ の整数部分とは $x$ を超えない最大の整数のことであり、小数部分とは $x$ から整数部分を引いた値のことである。

• 難易度 2（教科書の演習問題レベル）

  実数 $\alpha$ の正則連分数展開を、次の手続きで定める。$x_0=\alpha$ とし、$k=0,1,2,\dots$ に対して
  $$a_k=\lfloor x_k\rfloor ,x_k\ne a_k\text{ のとき }{x}_{k+1}=\frac{1}{x_k-a_k}$$
  とする（$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数）。$x_k=a_k$ となったら手続きを終える。

  $n$ を正の整数とし、$\alpha =\sqrt{n^2+1}$ とする。このとき、上の手続きは終わらずにすべての $k\ge 0$ に対して $x_k$ が定まり、
  $$a_0=n,a_k=2n(k\ge 1)$$
  となること、すなわち $\sqrt{n^2+1}=[n;\overline{2n}]$ であることを証明せよ。

この技能の次に学べること

• 連分数展開と近似分数 （大学数学 整数論）