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整数論の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル証明問題大学数学整数論

実数 $α$ の正則連分数展開を、次の手続きで定める。 $x_{0} = α$ とし、 $k = 0, 1, 2, \dots$ に対して
$a_{k} = ⌊ x_{k} ⌋, x_{k} \neq = a_{k} のとき x_{k + 1} = \frac{1}{x _{k} - a _{k}}$
とする（ $⌊ x ⌋$ は $x$ 以下の最大の整数）。 $x_{k} = a_{k}$ となったら手続きを終える。

$n$ を正の整数とし、 $α = n^{2} + 1$ とする。このとき、上の手続きは終わらずにすべての $k \geq 0$ に対して $x_{k}$ が定まり、
$a_{0} = n, a_{k} = 2 n (k \geq 1)$
となること、すなわち $n^{2} + 1 = [n; 2 n]$ であることを証明せよ。

この問題で使うもの

連分数展開と近似分数（説明と入口の問題）
根号を含む式の計算と分母の有理化（説明と入口の問題）
整数部分と小数部分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $n^{2} + 1$ がどの連続する整数の間にあるかを調べて $a_{0}$ を求め、そのあと $x_{1}, x_{2}, \dots$ を具体的に計算して、同じ値がくり返されることを帰納法で示しましょう。

ヒント 2

$(n^{2} + 1 - n) (n^{2} + 1 + n) = 1$ を使うと、 $\frac{1}{n ^{2} + 1 - n}$ は分母を有理化して簡単な形になります。

ヒント 3

$n^{2} < n^{2} + 1 < (n + 1)^{2}$ から $a_{0} = n$ 、 $x_{1} = n^{2} + 1 + n$ がわかります。次に $x_{1}$ の整数部分を求め、 $x_{1} - a_{1}$ が $x_{0} - a_{0}$ と等しくなることを確かめましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$n^{2} < n^{2} + 1 < (n + 1)^{2}$ から $n < n^{2} + 1 < n + 1$ を導き、 $a_{0} = n$ を求めている（2 点）
$x_{0} - a_{0} = n^{2} + 1 - n$ が $0$ でないことを確認し、有理化によって $x_{1} = n^{2} + 1 + n$ を求めている（2 点）
$2 n < n^{2} + 1 + n < 2 n + 1$ から $⌊ x_{k} ⌋ = 2 n$ を導いている（2 点）
$x_{k} = n^{2} + 1 + n$ ならば $x_{k} - a_{k} \neq = 0$ かつ $x_{k + 1} = n^{2} + 1 + n$ となることを示し、数学的帰納法の形で全ての $k \geq 1$ に対する主張を確立している（3 点）
手続きが終わらないこととあわせて、 $a_{0} = n$ 、 $a_{k} = 2 n (k \geq 1)$ という結論を述べている（1 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$β = n^{2} + 1$ とおく。

ステップ 1（ $β$ の範囲）. $n$ は正の整数なので
$n^{2} < n^{2} + 1 < n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2}$
である（右の不等号は $2 n \geq 2 > 1$ による）。各辺は正なので平方根をとって
$n < β < n + 1 (1)$
を得る。

ステップ 2（ $a_{0}$ と $x_{1}$ ）. $x_{0} = β$ であり、 $(1)$ より $⌊ β ⌋ = n$ 、すなわち $a_{0} = n$ である。また $(1)$ より $x_{0} - a_{0} = β - n > 0$ なので $x_{0} \neq = a_{0}$ であり、 $x_{1}$ が定まる。 $(β - n) (β + n) = β^{2} - n^{2} = 1$ を使うと
$x_{1} = \frac{1}{β - n} = β + n$
である。

ステップ 3（帰納法）. 「すべての $k \geq 1$ について $x_{k}$ が定まり、 $x_{k} = β + n$ である」ことを $k$ についての数学的帰納法で示し、あわせて $a_{k} = 2 n$ を示す。

$k = 1$ のときはステップ 2 で示した。

ある $k \geq 1$ について $x_{k} = β + n$ が定まっていると仮定する。 $(1)$ の各辺に $n$ を加えると
$2 n < β + n < 2 n + 1$
なので、 $a_{k} = ⌊ x_{k} ⌋ = 2 n$ である。さらに
$x_{k} - a_{k} = (β + n) - 2 n = β - n > 0$
なので $x_{k} \neq = a_{k}$ であり、手続きは終わらず $x_{k + 1}$ が定まって、ステップ 2 と同じ計算により
$x_{k + 1} = \frac{1}{β - n} = β + n$
となる。よって $k + 1$ のときも成り立つ。

以上より、すべての $k \geq 1$ について $x_{k}$ が定まって $x_{k} = β + n$ 、したがって $a_{k} = 2 n$ である。

結論. 手続きは終わることなく続き、 $a_{0} = n$ 、 $a_{k} = 2 n (k \geq 1)$ となる。すなわち $n^{2} + 1 = [n; 2 n]$ である。 $■$

（例: $n = 1$ なら $2 = [1; 2]$ 、 $n = 2$ なら $5 = [2; 4]$ である。）

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