整数論の問題

有理数 $\frac{457}{198}$ の正則連分数展開を
$$\frac{457}{198}=[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,\dots ,a_n$ は正の整数で、$n\geqq 1$ かつ最後の部分商は $a_n\geqq 2$ とする。このとき、$\frac{457}{198}$ 自身の直前の近似分数 $[a_0;a_1,\dots ,a_{n-1}]$ を既約分数で求めよ。

有理数 $\frac{61}{27}$ の正則連分数展開を
$$\frac{61}{27}=[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,\dots ,a_n$ は正の整数であり、$n\geqq 1$ のとき最後の項は $a_n\geqq 2$ とする。第 $k$ 近似分数を $\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots ,a_k]$（既約分数、$q_k>0$）と表すとき、$\frac{p_2}{q_2}$ を求めよ。

有理数 $\frac{67}{29}$ の正則連分数展開を
$$\frac{67}{29}=[a_0;a_1,a_2,a_3]=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}}$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,a_2,a_3$ は正の整数で、$a_3\geqq 2$ とする。$k=0,1,2,3$ に対して、第 $k$ 近似分数を $\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots ,a_k]$（既約分数、$q_k>0$）と定める。近似分数 $\frac{p_2}{q_2}$ を既約分数で求めよ。

有理数 $\frac{172}{75}$ の正則連分数展開を
$$\frac{172}{75}=[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$$
とする。ここで $a_0$ は整数、$a_1,\dots ,a_n$ は正の整数で、$n\geqq 1$ のとき最後の項は $a_n\geqq 2$ とする。第 $k$ 近似分数を $\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots ,a_k]$（既約分数、$q_k>0$）と表すとき、最後から 2 番目の近似分数 $\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$ を既約分数で求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\phi (n)$ をオイラー関数、$\tau (n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。
$$S=\sum _{d\mid 360}\phi (d)\tau \left(\frac{360}{d}\right)$$
の値を求めよ。ただし和は $360$ の正の約数 $d$ すべてにわたる。