数と式の問題

分母の有理化

分母と分子に $3+\sqrt{5}$ を掛けると
$$x=\frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$
となる。

整数部分と小数部分

$4<5<9$ より $2<\sqrt{5}<3$ である。各辺に $3$ を加えて $2$ で割ると
$$\frac{5}{2}<\frac{3+\sqrt{5}}{2}<3$$
となる。よって $2<x<3$ であり、$a=2$ である。小数部分は
$$b=x-a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$
である。

$b^2+b$ の計算

$$b^2=\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$
なので
$$b^2+b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2}{2}=1$$
となる。

$\frac{a}{b}$ の計算

$$\frac{a}{b}=\frac{2}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}=\sqrt{5}+1$$

まとめ

$$\frac{a}{b}-b^2-b=\frac{a}{b}-(b^2+b)=(\sqrt{5}+1)-1=\sqrt{5}$$

したがって、求める値は $\sqrt{5}$ である。

まず $x$ を有理化する。$x=\frac{2}{3-\sqrt{5}}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$。
$2<\sqrt{5}<3$ より $5<3+\sqrt{5}<6$ なので $2.5<x<3$。よって $a=2$。
$b=x-2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$b$ は $2b+1=\sqrt{5}$ を満たすので、両辺を2乗して $4b^2+4b+1=5$、すなわち $b^2+b=1$。
次に $\frac{a}{b}=\frac{2}{b}=\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}=\sqrt{5}+1$。
したがって $\frac{a}{b}-b^2-b=\sqrt{5}+1-1=\sqrt{5}$。
検算：$b\approx 0.618$、$2/b\approx 3.236$、$b^2\approx 0.382$、$b^2+b=1.000$。$3.236-1=2.236\approx \sqrt{5}$。よって正しい。