数と式の問題

まず $x$ の分母を有理化する。分母と分子に $\sqrt{5}+1$ を掛けると
$$x=\frac{(\sqrt{5}+1{)}^2}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{5+2\sqrt{5}+1}{5-1}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$
となる。

次に整数部分を調べる。$4<5<9$ より $2<\sqrt{5}<3$ なので、各辺に $3$ を足して $2$ で割ると
$$\frac{5}{2}<\frac{3+\sqrt{5}}{2}<3$$
である。よって $2<x<3$ であり、整数部分は $a=2$ である。

小数部分は
$$b=x-2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$
である。

それぞれの値を計算する。
$$b^2=\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{4}=\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$
$$\frac{a}{b}=\frac{2}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}=\sqrt{5}+1$$

したがって
$$b^2+\frac{a}{b}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}+1=\frac{3-\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2}{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$$
である。

まず $x$ を有理化する。$x=\frac{(\sqrt{5}+1{)}^2}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$。\n$2<\sqrt{5}<3$ より $5<3+\sqrt{5}<6$ なので $2.5<x<3$。よって整数部分は $a=2$。\n小数部分は $b=x-2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。\n$b^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。\n$\frac{a}{b}=\frac{2}{b}=\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}=\sqrt{5}+1$。\n合計は $\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}+1=\frac{3-\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2}{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$。\n検算：$b\approx 0.618$、$b^2\approx 0.382$、$2/b\approx 3.236$、合計 $\approx 3.618$。$(5+2.236)/2=3.618$ で一致する。