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整数論の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学整数論

$43$ の正則連分数展開を求め、それを用いて、ペル方程式
$x^{2} - 43 y^{2} = 1$
の正の整数解 $(x, y)$ のうち $y$ が最小のものを求めよ。答えは組 $(x, y)$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

√d の連分数展開とペル方程式の基本解（説明と入口の問題）
連分数展開と近似分数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$m_{k + 1} = d_{k} a_{k} - m_{k}$ , $d_{k + 1} = (43 - m_{k + 1}^{2}) / d_{k}$ , $a_{k + 1} = ⌊(6 + m_{k + 1}) / d_{k + 1} ⌋$ の漸化式で、 $d_{k} = 1$ になるまで計算しましょう。

ヒント 2

$43 = [6; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 12]$ で周期の長さは $10$ です。周期が偶数なので、周期の直前の近似分数 $p_{9} / q_{9}$ が答えを与えます。

ヒント 3

近似分数は $p_{k} = a_{k} p_{k - 1} + p_{k - 2}$ , $q_{k} = a_{k} q_{k - 1} + q_{k - 2}$ で計算します。 $p_{5} / q_{5} = 341/52$ , $p_{6} / q_{6} = 400/61$ となります。

答えと解説

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(3482, 531)

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解説を読む

$43$ の連分数展開を、 $m_{0} = 0, d_{0} = 1, a_{0} = ⌊ 43 ⌋ = 6$ から漸化式
$m_{k + 1} = d_{k} a_{k} - m_{k}, d_{k + 1} = \frac{43 - m _{k + 1}^{2}}{d _{k}}, a_{k + 1} = ⌊ \frac{6 + m _{k + 1}}{d _{k + 1}} ⌋$
で計算する。

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$m_{k}$	6	1	5	4	5	5	4	5	1	6
$d_{k}$	7	6	3	9	2	9	3	6	7	1
$a_{k}$	1	1	3	1	5	1	3	1	1	12

$d_{10} = 1$ となり $a_{10} = 12 = 2 a_{0}$ なので
$43 = [6; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 12]$
で、周期の長さは $ℓ = 10$ （偶数）である。

周期の長さ $ℓ$ が偶数のとき、近似分数 $\frac{p _{ℓ - 1}}{q _{ℓ - 1}}$ が $x^{2} - 43 y^{2} = 1$ の最小の正の整数解を与える（一般に $p_{k}^{2} - 43 q_{k}^{2} = (- 1)^{k + 1} d_{k + 1}$ ）。 $p_{- 1} = 1, p_{0} = 6, q_{- 1} = 0, q_{0} = 1$ とし、 $p_{k} = a_{k} p_{k - 1} + p_{k - 2}$ , $q_{k} = a_{k} q_{k - 1} + q_{k - 2}$ で計算すると

$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$a_{k}$	6	1	1	3	1	5	1	3	1	1
$p_{k}$	6	7	13	46	59	341	400	1541	1941	3482
$q_{k}$	1	1	2	7	9	52	61	235	296	531

よって $(x, y) = (p_{9}, q_{9}) = (3482, 531)$ 。

検算: $348 2^{2} = 12124324$ 、 $43 \cdot 53 1^{2} = 43 \cdot 281961 = 12124323$ で、差は $1$ 。

別解

$43$ の連分数展開を $m_{0} = 0, d_{0} = 1, a_{0} = 6$ から $m_{k + 1} = a_{k} d_{k} - m_{k}$ , $d_{k + 1} = (43 - m_{k + 1}^{2}) / d_{k}$ , $a_{k + 1} = ⌊(6 + m_{k + 1}) / d_{k + 1} ⌋$ で計算する。

$(m, d, a)$ : $(6, 7, 1)$ , $(1, 6, 1)$ , $(5, 3, 3)$ , $(4, 9, 1)$ , $(5, 2, 5)$ , $(5, 9, 1)$ , $(4, 3, 3)$ , $(5, 6, 1)$ , $(1, 7, 1)$ , $(6, 1, 12)$ 。

よって $43 = [6; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 12]$ 、周期の長さは $10$ （偶数）。

周期が偶数なので、 $x^{2} - 43 y^{2} = 1$ の最小解は第 $9$ 近似分数 $p_{9} / q_{9}$ （周期の長さ $- 1$ 番目）で与えられる。近似分数を計算する（ $p_{k} = a_{k} p_{k - 1} + p_{k - 2}$ , $q_{k} = a_{k} q_{k - 1} + q_{k - 2}$ ）:
$a = 6, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 1, 1$ に対し
$p$ : $6, 7, 13, 46, 59, 341, 400, 1541, 1941, 3482$
$q$ : $1, 1, 2, 7, 9, 52, 61, 235, 296, 531$

よって $(x, y) = (3482, 531)$ 。

確かめ: $348 2^{2} = 12124324$ 、 $53 1^{2} = 281961$ 、 $43 \cdot 281961 = 12124323$ 。差は $1$ ✓。

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