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整数論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学整数論

$14$ の正則連分数展開を求め、それを用いて、ペル方程式
$x^{2} - 14 y^{2} = 1$
の正の整数解 $(x, y)$ のうち $y$ が最小のもの（基本解）を求めよ。答えは組 $(x, y)$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

√d の連分数展開とペル方程式の基本解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$14$ の連分数展開を漸化式 $m_{n + 1} = a_{n} Q_{n} - m_{n}$ , $Q_{n + 1} = \frac{d - m _{n + 1}^{2}}{Q _{n}}$ で求め、近似分数 $\frac{p _{n}}{q _{n}}$ と $p_{n}^{2} - d q_{n}^{2} = (- 1)^{n + 1} Q_{n + 1}$ の関係を使いましょう。

ヒント 2

$a_{0} = 3, m_{0} = 0, Q_{0} = 1$ から始め、 $a_{n} = 2 a_{0} = 6$ が現れたところで周期が閉じます。周期の長さ $ℓ$ が偶数なら、 $(p_{ℓ - 1}, q_{ℓ - 1})$ が基本解です。

ヒント 3

計算すると $14 = [3; 1, 2, 1, 6]$ で、周期は $ℓ = 4$ です。近似分数は $\frac{3}{1}, \frac{4}{1}, \frac{11}{3}, \dots$ と続きます。次の近似分数を求めましょう。

答えと解説

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(15, 4)

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解説を読む

手順 1：連分数展開を漸化式で求める。

$d = 14$ とします。 $3^{2} = 9 < 14 < 16 = 4^{2}$ より $3 < 14 < 4$ なので、 $a_{0} = 3$ です。 $m_{0} = 0, Q_{0} = 1$ から始めて、次の漸化式をくり返します。
$m_{n + 1} = a_{n} Q_{n} - m_{n}, Q_{n + 1} = \frac{d - m _{n + 1}^{2}}{Q _{n}}, a_{n + 1} = ⌊ \frac{a _{0} + m _{n + 1}}{Q _{n + 1}} ⌋$

$m_{1} = 3 \cdot 1 - 0 = 3$ 、 $Q_{1} = \frac{14 - 9}{1} = 5$ 、 $a_{1} = ⌊ \frac{3 + 3}{5} ⌋ = 1$
$m_{2} = 1 \cdot 5 - 3 = 2$ 、 $Q_{2} = \frac{14 - 4}{5} = 2$ 、 $a_{2} = ⌊ \frac{3 + 2}{2} ⌋ = 2$
$m_{3} = 2 \cdot 2 - 2 = 2$ 、 $Q_{3} = \frac{14 - 4}{2} = 5$ 、 $a_{3} = ⌊ \frac{3 + 2}{5} ⌋ = 1$
$m_{4} = 1 \cdot 5 - 2 = 3$ 、 $Q_{4} = \frac{14 - 9}{5} = 1$ 、 $a_{4} = ⌊ \frac{3 + 3}{1} ⌋ = 6 = 2 a_{0}$

$Q_{4} = 1$ となり、 $a_{4} = 2 a_{0}$ が現れたので、ここで周期が閉じます。よって
$14 = [3; 1, 2, 1, 6]$
であり、周期の長さは $ℓ = 4$ （偶数）です。

手順 2：近似分数を計算する。

$p_{- 2} = 0, p_{- 1} = 1, q_{- 2} = 1, q_{- 1} = 0$ として、 $p_{n} = a_{n} p_{n - 1} + p_{n - 2}$ 、 $q_{n} = a_{n} q_{n - 1} + q_{n - 2}$ を使います。

$n = 0$ ： $p_{0} = 3$ 、 $q_{0} = 1$
$n = 1$ ： $p_{1} = 1 \cdot 3 + 1 = 4$ 、 $q_{1} = 1 \cdot 1 + 0 = 1$
$n = 2$ ： $p_{2} = 2 \cdot 4 + 3 = 11$ 、 $q_{2} = 2 \cdot 1 + 1 = 3$
$n = 3$ ： $p_{3} = 1 \cdot 11 + 4 = 15$ 、 $q_{3} = 1 \cdot 3 + 1 = 4$

手順 3： $p_{n}^{2} - d q_{n}^{2} = (- 1)^{n + 1} Q_{n + 1}$ で値を確かめる。

$n = 0$ ： $9 - 14 = - 5 = - Q_{1}$
$n = 1$ ： $16 - 14 = 2 = Q_{2}$
$n = 2$ ： $121 - 126 = - 5 = - Q_{3}$
$n = 3$ ： $225 - 224 = 1 = Q_{4}$

$p_{n}^{2} - 14 q_{n}^{2}$ が $1$ になるのは、 $Q_{n + 1} = 1$ かつ $(- 1)^{n + 1} = 1$ のときです。周期の長さ $ℓ = 4$ は偶数なので、最初にそうなるのは $n = ℓ - 1 = 3$ のときです。

したがって、基本解は $(x, y) = (p_{3}, q_{3}) = (15, 4)$ です。

実際に $1 5^{2} - 14 \cdot 4^{2} = 225 - 224 = 1$ が成り立ちます。また、 $y = 1, 2, 3$ のとき $14 y^{2} + 1 = 15, 57, 127$ はどれも平方数ではないので、 $y = 4$ が最小であることも確かめられます。

答え： $(15, 4)$

別解

$14 \approx 3.74$ なので $a_{0} = 3$ 。
連分数展開を計算する。 $m_{0} = 0, d_{0} = 1, a_{0} = 3$ 。
$m_{1} = 3, d_{1} = (14 - 9) /1 = 5, a_{1} = ⌊(3 + 3) /5 ⌋ = 1$ 。
$m_{2} = 1 \cdot 5 - 3 = 2, d_{2} = (14 - 4) /5 = 2, a_{2} = ⌊(3 + 2) /2 ⌋ = 2$ 。
$m_{3} = 2 \cdot 2 - 2 = 2, d_{3} = (14 - 4) /2 = 5, a_{3} = ⌊(3 + 2) /5 ⌋ = 1$ 。
$m_{4} = 1 \cdot 5 - 2 = 3, d_{4} = (14 - 9) /5 = 1, a_{4} = ⌊(3 + 3) /1 ⌋ = 6$ 。
$d_{4} = 1$ なので周期は 4 で、 $14 = [3; 1, 2, 1, 6]$ 。

周期の長さが偶数 4 なので、基本解は第 3 近似分数 $p_{3} / q_{3}$ ( $n = 3$ 、周期の最後の直前まで) で得られる。
$p_{0} / q_{0} = 3/1$ 。
$p_{1} / q_{1} = (1 \cdot 3 + 1) / (1) = 4/1$ 。
$p_{2} / q_{2} = (2 \cdot 4 + 3) / (2 \cdot 1 + 1) = 11/3$ 。
$p_{3} / q_{3} = (1 \cdot 11 + 4) / (1 \cdot 3 + 1) = 15/4$ 。

検算: $1 5^{2} - 14 \cdot 4^{2} = 225 - 224 = 1$ 。

また $y < 4$ では $y = 1, 2, 3$ について $14 y^{2} + 1 = 15, 57, 127$ のいずれも平方数でない。したがって基本解は $(15, 4)$ 。

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