整数論の問題

方針 $g(n)=n^2$ とおくと、条件は $g(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)$ です。メビウスの反転公式により
$$f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)g\left(\frac{n}{d}\right)=\sum _{d\mid n}\mu (d){\left(\frac{n}{d}\right)}^2$$
となります。

$\mu (d)\ne 0$ となる約数を選ぶ $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ です。$\mu (d)$ は $d$ が平方因子をもつと $0$ になるので、和に効くのは $2,3,5$ の積でできる約数
$$1,2,3,5,6,10,15,30$$
だけです。$\mu (d)=(-1{)}^{(\text{素因数の個数})}$ なので、$\mu (1)=1$、$\mu (2)=\mu (3)=\mu (5)=-1$、$\mu (6)=\mu (10)=\mu (15)=1$、$\mu (30)=-1$ です。

和を計算する
$$\begin{array}{rl}f(60)& =60^2-30^2-20^2-12^2+10^2+6^2+4^2-2^2\\ & =3600-900-400-144+100+36+16-4\\ & =2304.\end{array}$$

別の計算（積の公式） $f(n)=n^2{\sum }_{d\mid n}\mu (d)\cdot \frac{1}{d^2}$ で、$h(d)=\frac{1}{d^2}$ は乗法的なので
$$\sum _{d\mid n}\mu (d)h(d)=\prod _{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)$$
が使えます。よって
$$f(60)=3600\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{25}\right)=3600\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{24}{25}=2304$$
となり、一致します。

答え：$f(60)=2304$

メビウスの反転公式より $f(n)={\sum }_{d\mid n}\mu (n/d)d^2$ である。これは乗法的関数で、素数のべき $p^k$ に対して $f(p^k)=p^{2k}-p^{2(k-1)}$ となる。

$60=2^2\cdot 3\cdot 5$ なので
- $f(4)=16-4=12$
- $f(3)=9-1=8$
- $f(5)=25-1=24$

よって $f(60)=12\cdot 8\cdot 24=2304$。

検算として、$f(n)=n^2{\prod }_{p\mid n}(1-p^{-2})$ を使う。$3600\cdot (3/4)(8/9)(24/25)=3600\cdot 576/900=4\cdot 576=2304$ となり一致する。

さらに $f(1)=1$, $f(2)=3$, $f(4)=12$ について、$1+3+12=16=4^2$ となり条件を満たす。