整数論の問題

1. $\sqrt{7}$ の正則連分数展開

$\sqrt{7}=2.645\dots$ なので $a_0=2$ である。以下、整数部分を取り出しては逆数をとる操作をくり返す。

• $\sqrt{7}=2+(\sqrt{7}-2)$ より $\frac{1}{\sqrt{7}-2}=\frac{\sqrt{7}+2}{3}=1.54\dots$ となり、$a_1=1$。
• 残りは $\frac{\sqrt{7}-1}{3}$ で、$\frac{3}{\sqrt{7}-1}=\frac{\sqrt{7}+1}{2}=1.82\dots$ となり、$a_2=1$。
• 残りは $\frac{\sqrt{7}-1}{2}$ で、$\frac{2}{\sqrt{7}-1}=\frac{\sqrt{7}+1}{3}=1.21\dots$ となり、$a_3=1$。
• 残りは $\frac{\sqrt{7}-2}{3}$ で、$\frac{3}{\sqrt{7}-2}=\sqrt{7}+2=4.64\dots$ となり、$a_4=4$。
• 残りは $\sqrt{7}-2$ で、最初と同じ形に戻る。

よって
$$\sqrt{7}=[2;\overline{1,1,1,4}]$$
である。

2. 近似分数（収束分数）

$p_n=a_n{p}_{n-1}+p_{n-2}$、$q_n=a_n{q}_{n-1}+q_{n-2}$ で計算すると、次の表を得る。

$q_8=223>200$ なので、$q\leqq 200$ をみたす収束分数の中で最後のものは $\frac{127}{48}$ である。

3. 候補の絞り込み

最良近似の理論（ラグランジュ）により、分母が $q$ 以下の分数の中で $\left|x-\frac{p}{q}\right|$ を最小にする分数（最良近似分数）は、収束分数か中間分数
$$\frac{k{p}_n+p_{n-1}}{k{q}_n+q_{n-1}}(1\leqq k\leqq a_{n+1}-1)$$
のどちらかである。

$a_8=4$ に対応する中間分数は、$k=1,2,3$ として次の 3 つになる。
$$\frac{127+82}{48+31}=\frac{209}{79},\frac{254+82}{96+31}=\frac{336}{127},\frac{381+82}{144+31}=\frac{463}{175}.$$
どれも分母は $200$ 以下である。

• これらは $\frac{82}{31}$（偶数番目の収束分数なので $\sqrt{7}$ より小さい）から $\frac{590}{223}$ へ向かって $\sqrt{7}$ の同じ側から単調に近づく。したがって、この中では $\frac{463}{175}$ が最も $\sqrt{7}$ に近い。
• それより前の収束分数や中間分数は、$\frac{127}{48}$ より $\sqrt{7}$ から遠い。

よって、比べるべきものは $\frac{127}{48}$ と $\frac{463}{175}$ の 2 つである。

4. 誤差の比較

$$\left|\sqrt{7}-\frac{p}{q}\right|=\frac{|p^2-7q^2|}{q(p+q\sqrt{7})}$$
を用いる。

$\frac{127}{48}$ について、$127^2-7\cdot 48^2=16129-16128=1$ なので
$$\left|\sqrt{7}-\frac{127}{48}\right|=\frac{1}{48(127+48\sqrt{7})}\approx \frac{1}{48\cdot 254.0}\approx 8.20\times 10^{-5}.$$

$\frac{463}{175}$ について、$463^2-7\cdot 175^2=214369-214375=-6$ なので
$$\left|\sqrt{7}-\frac{463}{175}\right|=\frac{6}{175(463+175\sqrt{7})}\approx \frac{6}{175\cdot 926.0}\approx 3.70\times 10^{-5}.$$

$\frac{463}{175}$ のほうが $\sqrt{7}$ に近い。

（確認）$127\cdot 175-463\cdot 48=22225-22224=1$ なので、$\frac{463}{175}$ と $\frac{127}{48}$ の間（$\sqrt{7}$ はこの間にある）にある分数の分母は $175+48=223$ 以上になる。よって分母 $200$ 以下で $\frac{463}{175}$ より $\sqrt{7}$ に近い分数は存在しない。

なお、$\gcd (463,175)=1$ なのでこれは既約分数である。

したがって、求める分数は $\frac{463}{175}$ である。

$\sqrt{7}=[2;\overline{1,1,1,4}]$ と連分数展開できる。収束分数は $2/1,3/1,5/2,8/3,37/14,45/17,82/31,127/48,590/223,\dots$ である。次の収束分数 $590/223$ は分母が $200$ を超える。

そこで $127/48$ と $82/31$ から作る準収束分数 $(82+127m)/(31+48m)$ を調べる。$m=3$ のとき $463/175$ で、分母は $175\le 200$ をみたす。$m=4$ では $590/223$ となり分母が $200$ を超える。

$127\cdot 175-463\cdot 48=22225-22224=1$ なので、$463/175$ と $127/48$ はファレイ数列で隣り合う。分母 $200$ 以下の分数のうち、$\sqrt{7}$ を挟む最も近い 2 つはこの 2 つである。挟まれた区間内には分母 $200$ 以下の分数は存在しない。

$\sqrt{7}=2.6457513\dots$ なので、
- $127/48=2.6458333\dots$、誤差は約 $8.2\times 10^{-5}$
- $463/175=2.6457142\dots$、誤差は約 $3.7\times 10^{-5}$

誤差は $463/175$ の方が小さい。$175=5^2\cdot 7$ であり、$463$ は $5$ でも $7$ でも割り切れない（$7\cdot 66=462$）ので既約である。

以上より、答えは $463/175$。