代数的整数論の問題

$f(x)=x^3-28$ とする。$f$ は $7$ についてアイゼンシュタイン多項式なので $\mathbb{Q}$ 上既約で、$[K:\mathbb{Q}]=3$ である。

$f$ の判別式. $x^3+px+q$ の判別式は $-4p^3-27q^2$ なので
$$\mathrm{disc}(f)=-27\cdot 28^2=-21168=-2^4\cdot 3^3\cdot 7^2.$$
$d_K$ を $K$ の判別式、$m=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ とすると $\mathrm{disc}(f)=m^2{d}_K$ が成り立つ。したがって $m$ の素因数は $2,3,7$ のどれかで、$v_2(m)\le 2$, $v_3(m)\le 1$, $v_7(m)\le 1$ である。

素数 $7$. $f$ は $7$ についてアイゼンシュタインなので、$7\nmid m$ である（アイゼンシュタイン多項式の根で生成される環は、その素数で極大）。

素数 $2$（下からの評価）. $\beta =\frac{{\alpha }^2}{2}$ とおくと ${\beta }^3=\frac{{\alpha }^6}{8}=\frac{784}{8}=98$ なので、$\beta$ は $x^3-98$ の根で整数である。$\beta \notin \mathbb{Z}[\alpha ]$（$1,\alpha ,{\alpha }^2$ は $\mathbb{Q}$ 上の基底で、${\alpha }^2$ の係数が $\frac{1}{2}$）であり、$2\beta \in \mathbb{Z}[\alpha ]$ だから、${\mathcal{O}}_K/\mathbb{Z}[\alpha ]$ は位数 $2$ の元をもち $2\mid m$。

素数 $2$（上からの評価）. $2{\mathcal{O}}_K$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ をとり、分岐指数を $e$ とする。${\alpha }^3=28=2^2\cdot 7$ の $\mathfrak{P}$ 進付値をとると $3v_{\mathfrak{P}}(\alpha )=2e$。$e\le 3$ なので $3\mid e$ より $e=3$、すなわち $2$ は $K$ で完全分岐し、$3$ は奇数なので分岐は順分岐である。よって $v_2(d_K)=e-1=2$。$v_2(\mathrm{disc}f)=4$ と合わせて $2v_2(m)=4-2=2$、つまり $v_2(m)=1$。

素数 $3$. $\gamma =\frac{1+\alpha +{\alpha }^2}{3}$ を考える。$(\alpha -1)({\alpha }^2+\alpha +1)={\alpha }^3-1=27$ より $\gamma =\frac{9}{t}$（$t=\alpha -1$）。$t$ は $(t+1{)}^3-28=t^3+3t^2+3t-27=0$ をみたすので、$t=\frac{9}{\gamma }$ を代入して $\frac{{\gamma }^3}{27}$ を掛けると
$$27+9\gamma +{\gamma }^2-{\gamma }^3=0,\text{すなわち}{\gamma }^3-{\gamma }^2-9\gamma -27=0.$$
これはモニックな整数係数多項式なので $\gamma \in {\mathcal{O}}_K$。$\gamma \notin \mathbb{Z}[\alpha ]$, $3\gamma \in \mathbb{Z}[\alpha ]$ だから $3\mid m$。上で見た $v_3(m)\le 1$ と合わせて $v_3(m)=1$（このとき $v_3(d_K)=3-2=1$）。

以上より $m=2\cdot 3=6$ である。なお $d_K=\mathrm{disc}(f)/36=-588=-2^2\cdot 3\cdot 7^2$ となる。

答え: $6$

$28=7\cdot 2^2$ なので純三次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{a{b}^2})$ で $a=7,b=2$（$a,b$ は互いに素な無平方数）の場合である。$\mathbb{Z}[\alpha ]$ の判別式は $-27\cdot 28^2=-21168$。

$28\equiv 1(\mathrm{mod}9)$ なので Dedekind の結果より ${\mathcal{O}}_K$ の整数基底は $1,\alpha ,\frac{b^2+b^2\alpha +{\alpha }^2}{3b}=\frac{{\alpha }^2+4\alpha +4}{6}=\frac{(\alpha +2{)}^2}{6}$ である。実際 $\beta =(\alpha +2{)}^2/6$ は整数であることを確かめる：$N(\alpha +2)=\alpha$ の最小多項式 $x^3-28$ より $N(\alpha +2)=(-2{)}^3\cdot (-1)\cdot$ の計算で $8+28=36$、$N(\beta )=36^2/6^3=6\in \mathbb{Z}$ で整合的である。

この基底は $1,\alpha ,{\alpha }^2$ に対して ${\alpha }^2$ の係数が $1/6$ の三角行列で表されるので、指数は $6$。

検算：${\mathcal{O}}_K$ の判別式は公式 $-3a^2{b}^2=-3\cdot 49\cdot 4=-588$（$m\equiv \pm 1(\mathrm{mod}9)$ のとき）。$-21168/(-588)=36=6^2$ より指数 $=6$。