代数的整数論の問題

1. $R^{\times }={\mathcal{O}}_K^{\times }\cap R$ であること。

$u\in {\mathcal{O}}_K^{\times }\cap R$ とする。$u$ の最小多項式を $x^3-a{x}^2+bx-N$（$a,b\in \mathbb{Z}$、$N=N_{K/\mathbb{Q}}(u)=\pm 1$）とすると
$$u^{-1}=N^{-1}(u^2-au+b)\in \mathbb{Z}[u]\subset R$$
となる。よって $u\in R^{\times }$ である。逆の包含は明らかである。

2. 問題の言い換え。

$\epsilon =\frac{{\alpha }^3-1}{\alpha -1}=\frac{1}{\alpha -1}$ なので、$u:=\alpha -1={\epsilon }^{-1}$ とおく。$-1\in R$ だから、$\pm {\epsilon }^n\in R$ となるのは $u^n\in R$ のときであり、そのときに限る。

$u^n\in R$ であることは、$u^n\mathrm{mod}35{\mathcal{O}}_K$ が $\mathbb{Z}/35$ の像に入ることと同値である。中国剰余定理により、これは
$$u^n\mathrm{mod}5\in {\mathbb{F}}_5\text{かつ}{u}^n\mathrm{mod}7\in {\mathbb{F}}_7$$
と同値になる。各 $p$ について、$({\mathcal{O}}_K/p{)}^{\times }/{\mathbb{F}}_p^{\times }$ における $u$ の類の位数を $n_p$ とすると、求める指数は $\mathrm{lcm}(n_5,n_7)$ である。

3. $p=5$ の場合。

${\mathcal{O}}_K/5={\mathbb{F}}_5[x]/(x^3-2)$ である。$\mathrm{mod}5$ で
$$x^3-2\equiv (x-3)(x^2+3x+4)$$
と分解する（展開すると $x^3-5x-12$ になる）。$x^2+3x+4$ は $x=0,1,2,3,4$ でそれぞれ $4,3,4,2,2$ をとり、根をもたないので既約である。よって ${\mathcal{O}}_K/5\cong {\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_{25}$ となる。

• ${\mathbb{F}}_5$ 成分（$\alpha \mapsto 3$）では $u\mapsto 2$ である。
• ${\mathbb{F}}_{25}$ 成分では ${\alpha }^2=2\alpha +1$ が成り立つ。$\beta =\alpha -1$ とおくと、${\beta }^2={\alpha }^2-2\alpha +1=2$ となる。

$\beta \notin {\mathbb{F}}_5$ なので、${\beta }^n\in {\mathbb{F}}_5$ となるのは $n=2m$ が偶数のときに限り、そのとき ${\beta }^n=2^m$ である。$u^n$ の類が自明になる条件は、2 つの成分が同じ ${\mathbb{F}}_5^{\times }$ の元になること、すなわち $2^{2m}=2^m$ である。これは $2^m=1$ と同値で、$2$ の $\mathrm{mod}5$ での位数は $4$ だから $4\mid m$ となる。よって $n_5=8$ である。

4. $p=7$ の場合。

$\mathrm{mod}7$ の立方数は $0,1,6$ だけなので、$x^3-2$ は ${\mathbb{F}}_7$ 上既約であり、${\mathcal{O}}_K/7\cong {\mathbb{F}}_{343}$ となる。商群 ${\mathbb{F}}_{343}^{\times }/{\mathbb{F}}_7^{\times }$ の位数は $342/6=57$ である。

${\mathbb{F}}_{343}$ から ${\mathbb{F}}_7$ へのノルムは $x\mapsto x^{1+7+49}=x^{57}$ であり、$\bar{u}$ のノルムは $N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha -1)$ の還元に等しい。$f(x)=x^3-2$ とすると
$$N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha -1)=(-1{)}^{3}f(1)=1$$
なので ${\bar{u}}^{57}=1$ である。すると $({\bar{u}}^{19}{)}^3=1$ となり、${\bar{u}}^{19}$ は位数 $3$ の部分群に入る。$3\mid 6$ なので、この部分群は ${\mathbb{F}}_7^{\times }$ に含まれ、${\bar{u}}^{19}\in {\mathbb{F}}_7^{\times }$ である。したがって類の位数は $19$ を割る。一方 $\bar{u}=\alpha -1\notin {\mathbb{F}}_7$ なので位数は $1$ ではなく、$n_7=19$ である。

5. 結論。

$\pm {\epsilon }^n\in R$ となるのは $152=\mathrm{lcm}(8,19)$ が $n$ を割るときに限る。よって $R^{\times }=\{\pm 1\}\times ⟨{\epsilon }^{152}⟩$ であり、
$$[{\mathcal{O}}_K^{\times }:R^{\times }]=152$$
である。

$R^{\times }=\{u\in {\mathcal{O}}_K^{\times }:u\equiv a(\mathrm{mod}35{\mathcal{O}}_K),a\in \mathbb{Z}\}$ である。実際、$u\equiv a$ のとき $a$ は $35$ と互いに素であり、$u^{-1}\equiv a^{-1}$ なので $u^{-1}\in R$ となる。したがって、指数は ${\mathcal{O}}_K^{\times }$ の像が $G/H$ の中で生成する部分群の位数に等しい。ここで $G=({\mathcal{O}}_K/35{)}^{\times }$、$H=(\mathbb{Z}/35{)}^{\times }$ とする。

$-1\in H$ なので、求める指数は $\epsilon$ の $G/H$ における位数である。

${\alpha }^3=2$ より $\epsilon =({\alpha }^3-1)/(\alpha -1)=1/(\alpha -1)$ である。

【$p=7$】$7$ を法とすると立方数は $\pm 1$ のみで、$2$ は立方数でない。よって $x^3-2$ は ${\mathbb{F}}_7$ 上既約で、${\mathcal{O}}_K/7={\mathbb{F}}_{343}$ となる。$G_7/H_7={\mathbb{F}}_{343}^{\times }/{\mathbb{F}}_7^{\times }$ は位数 $57=3\cdot 19$ の巡回群である。

$\beta =\alpha -1$ とおく。${\beta }^3=1+3\alpha -3{\alpha }^2\notin {\mathbb{F}}_7$ なので、$\beta$ の位数は $1$ でも $3$ でもない。

フロベニウス写像で ${\alpha }^7=4\alpha$ なので、${\beta }^7=4\alpha -1$ である。これより ${\beta }^{14}=2{\alpha }^2-\alpha +1$、${\beta }^5=-{\alpha }^2+2\alpha +5$ が計算できる。したがって

${\beta }^{19}=(2{\alpha }^2-\alpha +1)(-{\alpha }^2+2\alpha +5)=15\equiv 1(\mathrm{mod}7)$

となる。ゆえに $\epsilon$ の $G_7/H_7$ での位数は $19$ である。

【$p=5$】$3^3\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ なので $x^3-2=(x-3)(x^2+3x+4)$ と分解し、第 2 因子は既約である（判別式 $-7\equiv 3$ が非平方）。よって ${\mathcal{O}}_K/5={\mathbb{F}}_5\times {\mathbb{F}}_{25}$ である。

写像 $(a,b)\mapsto b/a$ により $G_5/H_5\cong {\mathbb{F}}_{25}^{\times }$（位数 $24$）となる。

$\epsilon$ は $(1/2,1/(x-1))$ に対応するので、その像は $2/(x-1)$ である。この位数は $y=(x-1)/2=3x+2$ の位数に等しい。$x^2=2x+1$ を使うと $y^2=4x^2+2x+4=10x+8\equiv 3$ である。$3$ は ${\mathbb{F}}_5^{\times }$ で位数 $4$ なので、$y$ の位数は $8$ である。

【合成】$G/H\cong G_5/H_5\times G_7/H_7$ であり、$\epsilon$ の位数は $\mathrm{lcm}(8,19)=152$ である。

よって $[{\mathcal{O}}_K^{\times }:R^{\times }]=152$ である。