代数的整数論の問題

$61\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{61}}{2}\right]$ であり、${\mathcal{O}}_K$ の元は $\frac{a+b\sqrt{61}}{2}$（$a,b\in \mathbb{Z}$, $a\equiv b(\mathrm{mod}2)$）と書ける。そのノルムは $\frac{a^2-61b^2}{4}$ なので、単数であることは
$$a^2-61b^2=\pm 4$$
と同値である。

$1$ より大きい単数の形. $u=\frac{a+b\sqrt{61}}{2}>1$ が単数なら、共役 $u^{\prime }=\frac{a-b\sqrt{61}}{2}$ は $|u^{\prime }|=1/u<1$ をみたす。よって $u+u^{\prime }=a>0$ かつ $u-u^{\prime }=b\sqrt{61}>0$ となり、$a,b$ はともに正である。さらに $a=\sqrt{61b^2\pm 4}$ なので、$u=\frac{\sqrt{61b^2\pm 4}+b\sqrt{61}}{2}$ は $b$ について狭義単調増加である（$b\ge 1$ のとき $\sqrt{61b^2+4}<\sqrt{61(b+1{)}^2-4}$）。したがって最小の単数 $>1$ は、$a^2-61b^2=\pm 4$ が正の整数解 $a$ をもつ最小の正の整数 $b$ から得られる。

探索.
- $b=1$: $61\pm 4=65,57$。どちらも平方数でない。
- $b=2$: $244\pm 4=248,240$。平方数でない。
- $b=3$: $549\pm 4=553,545$。平方数でない（$23^2=529$, $24^2=576$）。
- $b=4$: $976\pm 4=980,972$。平方数でない（$31^2=961$, $32^2=1024$）。
- $b=5$: $1525-4=1521=39^2$。

よって $a=39$, $b=5$（$a\equiv b(\mathrm{mod}2)$ もみたす）で、$39^2-61\cdot 5^2=1521-1525=-4$ より、これはノルム $-1$ の単数である。
$$\epsilon =\frac{39+5\sqrt{61}}{2}.$$

$61\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{61}}{2}]$。基本単数 $\epsilon =\frac{x+y\sqrt{61}}{2}$ は $x^2-61y^2=\pm 4$ の最小の正の解から得られる。

$y=1,\dots ,4$ を調べる: $61\pm 4=65,57$ ($y=1$)、$244\pm 4=248,240$ ($y=2$)、$549\pm 4=553,545$ ($y=3$)、$976\pm 4=980,972$ ($y=4$) はいずれも平方数でない。$y=5$: $61\cdot 25=1525$, $1525-4=1521=39^2$ ✓ なので $x^2-61y^2=-4$ の解 $(x,y)=(39,5)$。

$\epsilon =\frac{39+5\sqrt{61}}{2}$、ノルム $\frac{39^2-61\cdot 25}{4}=\frac{1521-1525}{4}=-1$。$y\le 4$ に解がないので最小（基本単数）。$\epsilon \approx \frac{39+39.05}{2}\approx 39.02>1$。

答え: $\frac{39+5\sqrt{61}}{2}$