単数群と実 2 次体の基本単数

ディリクレの単数定理（ $O_{K}^{\times}$ の階数 $r_{1} + r_{2} - 1$ ）と虚 2 次体の単数群（ $\pm 1$ 、 $Q (i)$ で位数 $4$ 、 $Q (- 3)$ で位数 $6$ ）を使える。実 2 次体では、 $O_{K}$ の単数が $N (ε) = \pm 1$ の元であることから、 $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $x^{2} - d y^{2} = \pm 4$ 、それ以外は $x^{2} - d y^{2} = \pm 1$ の最小の正の解を連分数展開で求めて基本単数を求められる（例: $Q (2)$ で $1 + 2$ 、 $Q (61)$ で $\frac{39 + 5 61}{2}$ 、ノルム $- 1$ ）

前提

2 次体の整数環と判別式（大学院数学代数的整数論）
√d の連分数展開とペル方程式の基本解（大学数学整数論）

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算数中学高校大学大学院

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2 次体の整数環と判別式（大学院数学代数的整数論）
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最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
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整数部分と小数部分（数学I 数と式）
連分数展開と近似分数（大学数学整数論）
ペル方程式の解の生成（大学数学整数論）
√d の連分数展開とペル方程式の基本解（大学数学整数論）

説明

数体 $K$ の整数環 $O_{K}$ の中で逆元も $O_{K}$ に入る元を単数といい、単数全体は乗法について群 $O_{K}^{\times}$ （単数群）をなします。ディリクレの単数定理によれば、 $O_{K}^{\times}$ は有限個の 1 の冪根と、 $r_{1} + r_{2} - 1$ 個の「独立な」単数から生成されます（ $r_{1}$ は実の埋め込みの個数、 $r_{2}$ は複素共役の対になった埋め込みの組の個数）。2 次体では、虚 2 次体の単数群は有限群（ふつう ${\pm 1}$ ）、実 2 次体の単数群は ${\pm ε^{n} ∣ n \in Z}$ となり、この $ε$ （基本単数）はペル型の方程式の最小解として具体的に求められます。

なぜそうしてよいのか

まず単数の判定法です。 $α \in O_{K}$ の共役を $α ˉ$ とすると、ノルム $N (α) = α α ˉ$ は整数で、 $N$ は積を保ちます。 $α$ が単数なら $N (α) N (α^{- 1}) = N (1) = 1$ で両方整数なので $N (α) = \pm 1$ 。逆に $N (α) = \pm 1$ なら $α^{- 1} = \pm α ˉ \in O_{K}$ なので単数です。よって単数とはノルム $\pm 1$ の整数のことです。整数環の形から、 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $α = x + y d$ （ $x, y \in Z$ ）で $N (α) = x^{2} - d y^{2} = \pm 1$ 、 $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $α = \frac{x + y d}{2}$ （ $x \equiv y (mod 2)$ ）で $x^{2} - d y^{2} = \pm 4$ が条件になります（ $d \equiv 1 (mod 4)$ のとき $x^{2} - d y^{2} \equiv 0 (mod 4)$ から $x \equiv y (mod 2)$ は自動的に従います）。

虚 2 次体（ $d < 0$ 、 $r_{1} = 0, r_{2} = 1$ ）では階数は $0 + 1 - 1 = 0$ で、単数群は有限です。実際 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ のとき $x^{2} + ∣ d ∣ y^{2} = 1$ 、 $d \equiv 1 (mod 4)$ のとき $x^{2} + ∣ d ∣ y^{2} = 4$ の整数解は有限個で、数えると $d = - 1$ で $\pm 1, \pm i$ の 4 個、 $d = - 3$ で $\pm 1, \frac{\pm 1 \pm - 3}{2}$ の 6 個、それ以外は $\pm 1$ の 2 個です。実 2 次体（ $d > 0$ 、 $r_{1} = 2, r_{2} = 0$ ）では階数は $1$ で、 $K \subset R$ なので 1 の冪根は $\pm 1$ だけ。したがって $1$ より大きい最小の単数 $ε$ が存在し、 $O_{K}^{\times} = {\pm ε^{n}}$ となります。これが基本単数です。

単数 $α > 1$ は $∣ α ˉ ∣ = 1/ α < 1$ を満たすので、 $α + α ˉ > 0$ と $α - α ˉ > 0$ から $x > 0, y > 0$ です。 $x = d y^{2} \pm c$ （ $c = 1$ または $4$ ）なので、正の解では $y$ が大きいほど $α$ も大きく、同じ $y$ なら $x$ が小さい（ $x^{2} = d y^{2} - c$ の）方が小さくなります。よって $ε$ は「 $x, y > 0$ で $y$ が最小、同じ $y$ なら $x$ が最小の解」から得られます。 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ では、 $x^{2} - d y^{2} = \pm 1$ の正の解は $d$ の近似分数 $p_{n} / q_{n}$ に必ず現れ、 $p_{n}^{2} - d q_{n}^{2} = (- 1)^{n + 1} Q_{n + 1}$ で $Q_{n + 1} = 1$ となる最初の番号は $n = ℓ - 1$ （ $ℓ$ は周期の長さ）なので、 $ε = p_{ℓ - 1} + q_{ℓ - 1} d$ 、ノルムは $(- 1)^{ℓ}$ です。 $d \equiv 1 (mod 4)$ では $O_{K}$ が $Z [d]$ より大きいので、 $\pm 4$ の方程式を解く必要があります。このとき $ε = \frac{x + y d}{2}$ の $x, y$ がともに偶数なら $ε \in Z [d]$ です。ともに奇数なら $ε \in / Z [d]$ ですが、 $ε^{3} = \frac{x ( x ^{2} + 3 d y ^{2} ) + y ( 3 x ^{2} + d y ^{2} ) d}{8}$ で $x^{2} + 3 d y^{2} = 4 (d y^{2} \pm 1)$ 、 $3 x^{2} + d y^{2} = 4 (x^{2} \mp 1)$ はともに $8$ の倍数（ $d y^{2}, x^{2}$ は奇数）なので $ε^{3} \in Z [d]$ となります（ $ε^{2} = \frac{x ^{2} + d y ^{2} + 2 x y d}{4}$ は $x y$ が奇数なので $Z [d]$ に入りません）。

手順

体が虚 2 次体か実 2 次体かを確かめる。虚 2 次体なら単数群は $d = - 1$ で位数 $4$ 、 $d = - 3$ で位数 $6$ 、それ以外で ${\pm 1}$ （位数 $2$ ）。実 2 次体なら階数 $1$ で $O_{K}^{\times} = {\pm ε^{n}}$
$d mod 4$ で解くべき方程式を決める: $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $x^{2} - d y^{2} = \pm 1$ 、 $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $x^{2} - d y^{2} = \pm 4$
$d \equiv 2, 3 (mod 4)$ のとき: 漸化式 $m_{n + 1} = a_{n} Q_{n} - m_{n}, Q_{n + 1} = \frac{d - m _{n + 1}^{2}}{Q _{n}}, a_{n + 1} = ⌊ \frac{a _{0} + m _{n + 1}}{Q _{n + 1}} ⌋$ で $d = [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{ℓ - 1}, 2 a_{0}]$ を求め、周期の長さ $ℓ$ を読む
近似分数 $p_{n} / q_{n}$ を $p_{n} = a_{n} p_{n - 1} + p_{n - 2}, q_{n} = a_{n} q_{n - 1} + q_{n - 2}$ で $n = ℓ - 1$ まで計算し、 $ε = p_{ℓ - 1} + q_{ℓ - 1} d$ 、 $N (ε) = (- 1)^{ℓ}$ とする
$d \equiv 1 (mod 4)$ のとき: $y = 1, 2, \dots$ の順に $d y^{2} - 4$ と $d y^{2} + 4$ が平方数になるかを調べ、最初に見つかった $y$ と $x > 0$ から $ε = \frac{x + y d}{2}$ とする。同じ $y$ で両方が平方数になるとき（ $d = 5, y = 1$ で $x = 1$ と $x = 3$ ）は小さい方の $x$ をとる（大きい方は $ε^{2}$ ）。例: $Q (13)$ では $y = 1$ で $13 - 4 = 9 = 3^{2}$ より $ε = \frac{3 + 13}{2}$ 、 $Q (61)$ では $y = 5$ で初めて $1525 - 4 = 3 9^{2}$ となり $ε = \frac{39 + 5 61}{2}$ 。検算として、手順 3・4 を $d$ に使って $Z [d]$ の中の最小解 $η$ を求めると、 $x, y$ が偶数なら $η = ε$ 、奇数なら $η = ε^{3}$ になる
$N (ε) = x^{2} - d y^{2}$ （ $d \equiv 2, 3$ ）または $\frac{x ^{2} - d y ^{2}}{4}$ （ $d \equiv 1$ ）が $\pm 1$ であることを確かめる

例題

実 2 次体 $Q (7)$ の基本単数 $ε$ （ $ε > 1$ ）を求めよ。

例題の解答

手順 1: $d = 7 > 0$ なので実 2 次体で、 $O_{K}^{\times} = {\pm ε^{n}}$ 。

手順 2: $7 \equiv 3 (mod 4)$ なので $O_{K} = Z [7]$ で、 $x^{2} - 7 y^{2} = \pm 1$ の最小の正の解を求める。

手順 3: $a_{0} = ⌊ 7 ⌋ = 2$ 、 $m_{0} = 0, Q_{0} = 1$ から
- $m_{1} = 2, Q_{1} = \frac{7 - 4}{1} = 3, a_{1} = ⌊ \frac{2 + 2}{3} ⌋ = 1$
- $m_{2} = 1 \cdot 3 - 2 = 1, Q_{2} = \frac{7 - 1}{3} = 2, a_{2} = ⌊ \frac{2 + 1}{2} ⌋ = 1$
- $m_{3} = 1 \cdot 2 - 1 = 1, Q_{3} = \frac{7 - 1}{2} = 3, a_{3} = ⌊ \frac{2 + 1}{3} ⌋ = 1$
- $m_{4} = 1 \cdot 3 - 1 = 2, Q_{4} = \frac{7 - 4}{3} = 1, a_{4} = ⌊ \frac{2 + 2}{1} ⌋ = 4 = 2 a_{0}$

よって $7 = [2; 1, 1, 1, 4]$ 、周期の長さは $ℓ = 4$ 。

手順 4: 近似分数は $\frac{p _{0}}{q _{0}} = \frac{2}{1}, \frac{p _{1}}{q _{1}} = \frac{3}{1}, \frac{p _{2}}{q _{2}} = \frac{5}{2}, \frac{p _{3}}{q _{3}} = \frac{8}{3}$ 。 $n = ℓ - 1 = 3$ で $p_{3} = 8, q_{3} = 3$ なので $ε = 8 + 37$ 、 $N (ε) = (- 1)^{4} = 1$ 。

手順 6: $8^{2} - 7 \cdot 3^{2} = 64 - 63 = 1$ で確かに単数。 $ℓ$ が偶数なのでノルム $- 1$ の単数は存在しない（実際 $x^{2} - 7 y^{2} = - 1$ なら $x^{2} \equiv - 1 (mod 7)$ となるが、 $7$ を法とする平方は $0, 1, 2, 4$ なので解はない）。

したがって基本単数は $8 + 37$ 。

答え: $8 + 37$

よくある誤り

$d \equiv 1 (mod 4)$ でも $Z [d]$ の中だけで探してしまう誤り。正しくは整数環は $Z [\frac{1 + d}{2}]$ なので $x^{2} - d y^{2} = \pm 4$ を解く。たとえば $Q (13)$ で $18 + 513$ （ノルム $- 1$ ）を基本単数としがちだが、 $\frac{3 + 13}{2}$ （ $9 - 13 = - 4$ よりノルム $- 1$ ）があり、 $(\frac{3 + 13}{2})^{3} = 18 + 513$ である。同様に $Q (61)$ の基本単数は $29718 + 380561$ ではなく、その立方根にあたる $\frac{39 + 5 61}{2}$ 。
$d \equiv 1 (mod 4)$ で、同じ $y$ に $\pm 4$ の両方の解があるとき大きい $x$ を選んでしまう誤り。たとえば $Q (5)$ の $y = 1$ で $5 + 4 = 3^{2}$ から $\frac{3 + 5}{2}$ とすると、これは $(\frac{1 + 5}{2})^{2}$ である。正しくは $5 - 4 = 1^{2}$ の $x = 1$ をとり、基本単数は $\frac{1 + 5}{2}$ （ノルム $- 1$ ）。
ノルム $+ 1$ の解だけを探してしまう誤り。正しくは単数はノルム $\pm 1$ の元なので $- 1$ の側も調べる。たとえば $Q (2)$ で $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ の最小解 $3 + 22$ を答えると誤りで、 $1^{2} - 2 \cdot 1^{2} = - 1$ より $1 + 2$ が基本単数（ $3 + 22 = (1 + 2)^{2}$ ）。
近似分数を 1 つ先まで進めて $2 a_{0}$ の項まで使ってしまう誤り。正しくは使うのは $p_{ℓ - 1} / q_{ℓ - 1}$ で、 $7$ では $\frac{8}{3}$ 。 $2 a_{0} = 4$ まで含めた $\frac{p _{4}}{q _{4}} = \frac{37}{14}$ では $3 7^{2} - 7 \cdot 1 4^{2} = - 3$ となり単数ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
実 2 次体 $K = Q (7)$ の整数環 $O_{K}$ の単数群 $O_{K}^{\times}$ は ${\pm 1} \times ⟨ ε ⟩$ の形に書ける。ここで $ε$ は $ε > 1$ をみたす基本単数（ $1$ より大きい単数のうち最小のもの）とする。 $ε$ を $a + b 7$ （ $a, b$ は整数）の形で求めよ。

単数群と実 2 次体の基本単数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題