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代数的整数論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル証明問題大学院数学代数的整数論

$R = Z [6] = {x + y 6 ∣ x, y \in Z}$ を実数体 $R$ の部分環とみなし、 $R^{\times}$ を $R$ の単数群（乗法について可逆な元全体）とする。 $ε = 5 + 26$ とおく。

$R^{\times} = {\pm ε^{n} ∣ n \in Z}$
であることを証明せよ。

この問題で使うもの

単数群と実 2 次体の基本単数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

単数をノルム $N (x + y 6) = x^{2} - 6 y^{2}$ で特徴づけ、「 $1$ より大きい単数のうち最小のものが $ε$ である」ことを示せば、あとは $ε$ のべきで割って $[1, ε)$ に押し込む議論で済みます。

ヒント 2

$η > 1$ が単数なら共役 $η^{'}$ は $∣ η^{'} ∣ = 1/ η < 1$ を満たします。 $x = (η + η^{'}) /2$ , $y 6 = (η - η^{'}) /2$ から $x, y$ の符号が決まります。

ヒント 3

$x, y \geq 1$ と $x^{2} - 6 y^{2} = \pm 1$ から、 $y = 1$ が不可能なことを確かめ、 $y \geq 2$ のとき $x \geq 5$ を導いて $η \geq 5 + 26$ を示します。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

ノルム $N (α) = α α^{'}$ の乗法性を確認し、 $α$ が単数であることと $N (α) = \pm 1$ が同値であることを両方向示している（2 点）
$ε$ が単数で $ε^{- 1} = 5 - 26$ であることから ${\pm ε^{n}} \subset R^{\times}$ を示している（1 点）
$1$ より大きい単数 $x + y 6$ では $∣ η^{'} ∣ < 1$ を使って $x \geq 1$ , $y \geq 1$ となることを示している（3 点）
$y = 1$ の場合を排除し、 $y \geq 2$ から $x \geq 5$ を導いて、 $1$ より大きい単数は $ε$ 以上であることを示している（2 点）
任意の単数の符号を調整し、 $ε^{n} \leq w < ε^{n + 1}$ となる $n$ をとって $w ε^{- n} = 1$ を導き、逆の包含を結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$α = x + y 6 \in R$ に対し、共役を $α^{'} = x - y 6$ 、ノルムを $N (α) = α α^{'} = x^{2} - 6 y^{2} \in Z$ とおく。 $6$ は無理数なので $x + y 6$ の表し方は一意であり、 $α \mapsto α^{'}$ は $R$ の環自己同型（ $6 \mapsto - 6$ ）である。したがって $N (α β) = α β α^{'} β^{'} = N (α) N (β)$ 。

ステップ 1： $α \in R^{\times} ⟺ N (α) = \pm 1$ 。 $α β = 1$ （ $β \in R$ ）ならば $N (α) N (β) = N (1) = 1$ で、 $N (α), N (β)$ は整数なので $N (α) = \pm 1$ 。逆に $N (α) = α α^{'} = \pm 1$ ならば $α \cdot (\pm α^{'}) = 1$ で $\pm α^{'} \in R$ だから $α \in R^{\times}$ 。

特に $N (ε) = 25 - 24 = 1$ なので $ε \in R^{\times}$ 、 $ε^{- 1} = ε^{'} = 5 - 26 \in R$ 。よって $\pm ε^{n} \in R^{\times}$ （ $n \in Z$ ）であり、 ${\pm ε^{n}} \subset R^{\times}$ が成り立つ。以下、逆の包含を示す。

ステップ 2： $η = x + y 6 \in R^{\times}$ が $η > 1$ を満たせば $x \geq 1$ かつ $y \geq 1$ 。 ステップ 1 より $∣ η η^{'} ∣ = 1$ なので $∣ η^{'} ∣ = 1/ η < 1$ 。よって
$x = \frac{η + η ^{'}}{2} > \frac{1 - 1}{2} = 0, y 6 = \frac{η - η ^{'}}{2} > \frac{1 - 1}{2} = 0.$
$x, y$ は整数なので $x \geq 1$ , $y \geq 1$ 。

ステップ 3： $η \in R^{\times}$ かつ $η > 1$ ならば $η \geq ε$ 。 $η = x + y 6$ とすると、ステップ 2 より $x, y \geq 1$ 、ステップ 1 より $x^{2} = 6 y^{2} \pm 1$ 。
- $y = 1$ のとき $x^{2} = 7$ または $5$ となり、どちらも平方数でないので不可能。
- よって $y \geq 2$ であり、 $x^{2} \geq 6 \cdot 4 - 1 = 23$ 、 $x \geq 1$ より $x \geq 5$ 。

したがって $η = x + y 6 \geq 5 + 26 = ε$ 。

ステップ 4： $R^{\times} \subset {\pm ε^{n}}$ 。 $u \in R^{\times}$ をとる。 $u \neq = 0$ は実数なので、 $\pm$ を適当に選んで $\pm u > 0$ とできる。 $w = \pm u > 0$ とおく（ $w \in R^{\times}$ ）。 $ε > 1$ なので、 $n = ⌊ lo g w / lo g ε ⌋ \in Z$ とおけば $ε^{n} \leq w < ε^{n + 1}$ 。 $v = w ε^{- n}$ とおくと、 $v$ は単数の積なので $v \in R^{\times}$ であり、 $1 \leq v < ε$ 。もし $v > 1$ ならステップ 3 より $v \geq ε$ となり矛盾する。よって $v = 1$ 、すなわち $w = ε^{n}$ 、 $u = \pm ε^{n}$ 。

以上より $R^{\times} = {\pm ε^{n} ∣ n \in Z} = {\pm (5 + 26)^{n} ∣ n \in Z}$ である。 $■$

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