代数的整数論の問題

1. ${\mathbb{Q}}_3^{\times }$ の構造. 任意の $x\in {\mathbb{Q}}_3^{\times }$ は $x=3^{k}u$（$k=v_3(x)\in \mathbb{Z}$, $u\in {\mathbb{Z}}_3^{\times }$）と一意に書ける。よって
$${\mathbb{Q}}_3^{\times }\cong \mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}_3^{\times }$$
である。

次に ${\mathbb{Z}}_3^{\times }\to {\mathbb{F}}_3^{\times }=\{\pm 1\}$ の核を $U_1=1+3{\mathbb{Z}}_3$ とする。多項式 $x^2-1$ の根 $\pm 1$ は ${\mathbb{F}}_3$ で単根である（微分 $2x\not\equiv 0$）。したがってヘンゼルの補題により、$\{\pm 1\}\subset {\mathbb{Z}}_3^{\times }$ がこの写像の切断を与え、
$${\mathbb{Z}}_3^{\times }=\{\pm 1\}\times U_1$$
となる。

2. $U_1$ の構造. $p=3$ は奇素数である。$\log (1+z)={\sum }_{n\ge 1}(-1{)}^{n-1}{z}^n/n$ は $v_3(z)\ge 1$ で収束し、$\exp (z)=\sum z^n/n!$ は $v_3(z)>\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$、すなわち $z\in 3{\mathbb{Z}}_3$ で収束する。この 2 つは互いに逆な連続群同型
$$\log :U_1\stackrel{\sim }{\to }3{\mathbb{Z}}_3$$
を与える。よって $U_1\cong 3{\mathbb{Z}}_3\cong {\mathbb{Z}}_3$（加法群）である。

3. 各成分の 6 乗による商.
- $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の位数は $6$。
- $\{\pm 1{\}}^6=\{1\}$ なので、$\{\pm 1\}/\{\pm 1{\}}^6$ の位数は $2$。
- $U_1/U_1^6\cong {\mathbb{Z}}_3/6{\mathbb{Z}}_3$ である。$2$ は ${\mathbb{Z}}_3$ の単数なので $6{\mathbb{Z}}_3=3{\mathbb{Z}}_3$ となり、${\mathbb{Z}}_3/3{\mathbb{Z}}_3\cong {\mathbb{F}}_3$ の位数は $3$。

直積の 6 乗による商は、各成分の商の直積である。よって
$$\#{\mathbb{Q}}_3^{\times }/({\mathbb{Q}}_3^{\times }{)}^6=6\cdot 2\cdot 3=36.$$

（検算）一般公式 $[{\mathbb{Q}}_p^{\times }:({\mathbb{Q}}_p^{\times }{)}^n]=\frac{n\cdot \#{\mu }_n({\mathbb{Q}}_p)}{|n{|}_p}$ に $p=3$, $n=6$ を代入する。${\mu }_6({\mathbb{Q}}_3)=\{\pm 1\}$ より $\#{\mu }_6({\mathbb{Q}}_3)=2$、また $|6{|}_3=\frac{1}{3}$ なので、$\frac{6\cdot 2}{1/3}=36$ となり一致する。

${\mathbb{Q}}_3^{\times }\cong \mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}_3^{\times }$ である（$x=3^{n}u$, $u\in {\mathbb{Z}}_3^{\times }$ と分解する）。さらに ${\mathbb{Z}}_3^{\times }\cong {\mu }_2\times (1+3{\mathbb{Z}}_3)\cong \mathbb{Z}/2\times {\mathbb{Z}}_3$ である。ここで $1+3{\mathbb{Z}}_3$ は $3$ 進対数により加法群 $3{\mathbb{Z}}_3\cong {\mathbb{Z}}_3$ と同型になる。したがって ${\mathbb{Q}}_3^{\times }\cong \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\times {\mathbb{Z}}_3$ となる。

6 乗は加法的には 6 倍写像にあたるので、剰余群は
$\mathbb{Z}/6\times (\mathbb{Z}/2)/6(\mathbb{Z}/2)\times {\mathbb{Z}}_3/6{\mathbb{Z}}_3$
である。
- $\mathbb{Z}/6$ の位数は $6$。
- $\mathbb{Z}/2$ では $6$ 倍が $0$ なので、位数は $2$。
- ${\mathbb{Z}}_3$ では $6=3\cdot 2$ で $2$ は単元だから $6{\mathbb{Z}}_3=3{\mathbb{Z}}_3$ となり、${\mathbb{Z}}_3/3{\mathbb{Z}}_3\cong \mathbb{Z}/3$ の位数は $3$。

よって位数は $6\cdot 2\cdot 3=36$ である。

検算：局所体の公式 $|K^{\times }/K^{\times n}|=n\cdot |{\mu }_n(K)|\cdot |n{|}_K^{-1}$ に $n=6$, $|{\mu }_6({\mathbb{Q}}_3)|=2$, $|6{|}_3^{-1}=3$ を代入すると $6\cdot 2\cdot 3=36$ となり、一致する。