から までの整数のうち、 の倍数は何個ありますか。
倍数の個数
わり算の商を使って、1 から □ までの整数のうち、ある数の倍数が何個あるか（例: 1 から 200 までの 6 の倍数の個数）や、□ から □ までの倍数の個数を求められる
前提
中学までに習ったことだけで始められます。
説明
「1 から 200 までの整数の中に、6 の倍数はいくつあるか」のような問題を、1 つずつ数えずにわり算 1 回で求められるようになります。さらに、「100 から 300 まで」のように途中から始まる範囲でも、ひき算を組み合わせて倍数の個数を求められます。カレンダーで特定の曜日が何回あるかや、一定の間かくで並ぶものの数を数えるときに使います。
なぜそうしてよいのか
ある数（たとえば 6）に 1, 2, 3, … をかけてできる数を、6 の「倍数」といいます。6 の倍数を小さい順にならべると で、かけている数 1, 2, 3, … がそのまま「何番目の倍数か」を表しています。
1 から 200 までに 6 の倍数がいくつあるかは、「6 に何をかけたところまでが 200 以下か」を調べればわかります。 あまり 2 なので、 は 200 以下ですが、 は 200 をこえます。だから 6 の倍数は から までの 33 こです。つまり、わり算の商がそのまま個数になり、あまりは関係ありません。
100 から 300 までのように途中から始まるときは、「1 から 300 までの個数」から「1 から 99 までの個数」をひきます。100 より小さい部分を取りのぞけば、100 から 300 までが残るからです。ここで、ひくのは「1 から 100 まで」ではなく「1 から 99 まで」であることに注意します。100 自身が倍数のとき、それも数えたいからです。
手順
範囲の大きいほうのはしの数を、倍数のもとの数でわり、商を出す（あまりは無視する）。これが 1 からその数までの倍数の個数
範囲が 1 から始まるときは、その商が答え
範囲が途中の数から始まるときは、始まりの数より 1 小さい数をもとの数でわって商を出し、1 からその数までの倍数の個数を求める
手順1の個数から手順3の個数をひく
例題
100 から 300 までの整数のうち、7 の倍数は何個ありますか。
例題の解答
手順1: あまり 6 なので、1 から 300 までに 7 の倍数は 42 こあります。
手順2: 範囲は 1 からではなく 100 から始まるので、手順3・4 に進みます。
手順3: 始まりの 100 より 1 小さい 99 を 7 でわります。 あまり 1 なので、1 から 99 までに 7 の倍数は 14 こあります。
手順4: （こ）です。
たしかめ: 100 以上でいちばん小さい 7 の倍数は 、300 以下でいちばん大きい 7 の倍数は です。かける数は 15 から 42 までで、 こあり、合っています。
答えは 28 個です。
答え:
よくある誤り
あまりがあるときに商を 1 ふやしてしまう誤り。1 から 200 までの 6 の倍数を、 あまり 2 だから 34 こ としてはいけません。 は 200 をこえるので、正しくは 33 こです。
途中から始まる範囲で、始まりの数そのものでわってひいてしまう誤り。105 から 300 までの 7 の倍数を、、 で こ としてはいけません。105 も 7 の倍数なので、正しくは あまり 6 を使って こです。
範囲の数の差をわってしまう誤り。98 から 300 までの 7 の倍数を、 あまり 6 だから 28 こ としてはいけません。この方法では、範囲のはしが倍数かどうかで 1 こずれることがあります。正しくは あまり 6、 あまり 6 から、 こです（98 は で、かける数は 14 から 42 までの 29 こ）。
いちばん小さい倍数とおおきい倍数の「かける数」をひくだけで、1 をたし忘れる誤り。100 から 300 までの 7 の倍数は から までですが、 こ としてはいけません。15 番目も 42 番目もふくむので、正しくは こです。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
から までの整数のうち、 でも でも割り切れない整数は何個ありますか。
分母が で、分子が から までの整数である 個の分数
があります。このうち、これ以上約分できない分数は何個ありますか。から までの整数のうち、 の倍数をすべてたすと、いくつになりますか。
から までの整数のうち、 で割ると 余る整数は何個ありますか。
分子と分母がどちらも 以上の整数で、分子と分母の和が になる分数を考えます。このような分数のうち、 より小さく、これ以上約分できないものは何個ありますか。
分母と分子がどちらも 以上の整数で、分子が分母より小さい分数のうち、分母と分子の和が であり、これ以上約分できないものは何個ありますか。
ある駅から、A 行きのバスは 分おきに、B 行きのバスは 分おきに、C 行きのバスは 分おきに発車します。午前 時ちょうどに、この つの行き先のバスが同時に発車しました。午前 時から午後 時まで（午前 時ちょうどと午後 時ちょうどもふくみます）の間に、 つの行き先のうちちょうど つの行き先のバスが同時に発車することは何回ありますか。
から までの整数のうち、 の倍数でも の倍数でもない整数をすべてたすと、いくつになりますか。
3 つのランプ A、B、C があります。A は 秒ごとに、B は 秒ごとに、C は 秒ごとに一瞬だけ光ります。いま、3 つのランプが同時に光りました。このときから 時間後までの間に（はじめに同時に光った時はふくめず、 時間後ちょうどの時はふくめます）、3 つのランプのうち、ちょうど 2 つだけが同時に光ることは何回ありますか。
この技能の次に学べること
- 階乗に含まれる素因数の個数 （数学A 整数の性質）
- 〜でも〜でも割り切れる数の個数 （算数 整数の性質）
- 最大公約数・最小公倍数の文章題 （算数 整数の性質）