〜でも〜でも割り切れる数の個数

ベン図と最小公倍数を使って、1 から □ までの整数のうち「4 でも 6 でも割り切れる」「4 または 6 で割り切れる」「4 でも 6 でも割り切れない」整数の個数を求められる

前提

倍数の個数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）

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算数中学高校大学大学院

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倍数の個数（算数整数の性質）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）

説明

1 から 300 までの整数のうち、「6 でも 8 でもわり切れる数」「6 または 8 でわり切れる数（少なくとも一方でわり切れる数）」「6 でも 8 でもわり切れない数」がそれぞれ何個あるかを求められるようになります。2 つの数の倍数の集まりを、重なりのある 2 つの円（ベン図）で表し、重なりの部分を最小公倍数の倍数として数えるのがポイントです。

なぜそうしてよいのか

1 から 300 までの整数全体を大きな長方形で表し、その中に「6 でわり切れる数（6 の倍数）」の円と「8 でわり切れる数（8 の倍数）」の円をかき、2 つの円が一部重なるようにします。これがベン図です。

重なりの部分は「6 でも 8 でもわり切れる数」、つまり 6 と 8 の公倍数です。公倍数は最小公倍数の倍数になっているので（6 と 8 の公倍数は 24, 48, 72, … で、どれも 24 の倍数）、重なりの部分の個数は「最小公倍数の倍数の個数」として数えられます。6 と 8 をかけた 48 を使うと、24 や 72 を数えもらしてしまうので、かならず最小公倍数を使います。

「6 または 8 でわり切れる数」は、2 つの円のどちらかに入っている数で、円 2 つ分の全体です。6 の倍数の個数と 8 の倍数の個数をたすと、重なりの部分（24 の倍数）は両方の円で 1 回ずつ、合わせて 2 回数えてしまいます。そこで重なりの個数を 1 回分ひいて「6 の倍数の個数＋ 8 の倍数の個数 − 24 の倍数の個数」とします。「6 でも 8 でもわり切れない数」は、長方形の中で 2 つの円の外側にある数なので、全体の個数から「6 または 8 でわり切れる数」の個数をひけば求められます。

手順

2 つの数それぞれについて、1 から □ までの倍数の個数を、□ ÷ その数の商で求める
2 つの数の最小公倍数を求め、1 から □ までのその倍数の個数を求める。これが「どちらでもわり切れる数」の個数
「どちらか一方（または両方）でわり切れる数」の個数は、手順1の 2 つの個数をたして、手順2 の個数をひく
「どちらでもわり切れない数」の個数は、全体の個数 □ から手順3 の個数をひく

例題

1 から 300 までの整数のうち、6 でも 8 でもわり切れない整数は何個ありますか。

例題の解答

手順1: $300 \div 6 = 50$ なので、6 の倍数は 50 こです。 $300 \div 8 = 37$ あまり 4 なので、8 の倍数は 37 こです。

手順2: 6 と 8 の最小公倍数は、すだれ算で 2 でわると 3 と 4 が残るので $2 \times 3 \times 4 = 24$ です。 $300 \div 24 = 12$ あまり 12 なので、6 でも 8 でもわり切れる数は 12 こです。

手順3: 6 または 8 でわり切れる数は、 $50 + 37 - 12 = 75$ （こ）です。

手順4: 6 でも 8 でもわり切れない数は、 $300 - 75 = 225$ （こ）です。

答えは 225 個です。

答え: $225$

よくある誤り

重なりの部分を、2 つの数をかけた数の倍数として数えてしまう誤り。1 から 300 までで 6 でも 8 でもわり切れる数を、 $300 \div 48 = 6$ あまり 12 で 6 ことしてはいけません。24 や 72 なども両方でわり切れるので、正しくは最小公倍数 24 を使って $300 \div 24 = 12$ あまり 12 で 12 こです。
「6 または 8 でわり切れる数」で、重なりをひき忘れる誤り。 $50 + 37 = 87$ ことしてはいけません。24 の倍数を 2 回数えているので、正しくは $50 + 37 - 12 = 75$ こです。
「6 でも 8 でもわり切れない数」を、全体から重なりの部分だけひいて求めてしまう誤り。 $300 - 12 = 288$ ことしてはいけません。それは「6 と 8 の両方ではわり切れない数」です。どちらでもわり切れない数は、正しくは $300 - 75 = 225$ こです。
重なりの部分を 2 回ひいてしまう誤り。わり切れない数を $300 - 50 - 37 - 12 = 201$ ことしてはいけません。 $300 - 50 - 37$ で 24 の倍数を 2 回ひいているので、1 回分をもどして $300 - 50 - 37 + 12 = 225$ こが正しい答えです。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$1$ から $100$ までの整数のうち、 $3$ でも $4$ でも割り切れる整数は何個ありますか。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

約分できない分数の個数（算数整数の性質）