約分できない分数の個数

分母と分子の公約数に注目し、分母を素因数分解してその素数の倍数をベン図で除いて、 $\frac{1}{60}, \frac{2}{60}, \dots, \frac{59}{60}$ のうちこれ以上約分できない分数の個数を求められる

前提

〜でも〜でも割り切れる数の個数（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）

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算数中学高校大学大学院

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倍数の個数（算数整数の性質）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
〜でも〜でも割り切れる数の個数（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）

説明

$\frac{1}{60}, \frac{2}{60}, \dots, \frac{59}{60}$ のように分母が同じ分数がならんでいるとき、その中でこれ以上約分できない分数がいくつあるかを、1 つずつ調べずに求められるようになります。分母を素数のかけ算に分解し、その素数の倍数になっている分子をベン図を使って取りのぞくのがポイントです。中学入試の「約分できない分数の個数」や「約分できない分数の和」の問題で使います。

なぜそうしてよいのか

分数が約分できるのは、分母と分子に 1 以外の共通の約数があるときです。1 以外の共通の約数があれば、それをさらに素数に分けたときの素数も共通の約数になります。そして分母の約数になる素数は、分母を素因数分解したときに出てくる素数だけです。たとえば $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ なので、 $\frac{□}{60}$ が約分できるのは、分子 □ が 2 の倍数か、3 の倍数か、5 の倍数のときだけです。

ですから、約分できない分数の個数は「分子が 2 でも 3 でも 5 でも割り切れない数の個数」と同じです。素数が 2 つ（たとえば 36 の 2 と 3）なら、前提の技能で学んだ 2 つの円のベン図で「2 でも 3 でも割り切れない数」を数えればすみます。

素数が 3 つのときは、ベン図を 3 つの円に広げます。分子を 1 から 60 として、2 の倍数の円（30 個）、3 の倍数の円（20 個）、5 の倍数の円（12 個）をかきます。円の数を合わせた $30 + 20 + 12 = 62$ では、2 つの円の重なりにある数を 2 回数えているので、2 つずつの重なり（6 の倍数 10 個、10 の倍数 6 個、15 の倍数 4 個）をひきます。ところが、3 つの円すべての重なり、つまり 30 の倍数（30 と 60 の 2 個）は、はじめの合計で 3 回数えられ、2 つずつの重なりをひくときにも 6・10・15 の倍数のどれにも入るので 3 回ひかれ、数えられる回数が 0 回になってしまいます。そこで 1 回分たしもどして、 $62 - 20 + 2 = 44$ 個が「2, 3, 5 のどれかで割り切れる数」です。約分できない分数は $60 - 44 = 16$ 個です。

また、分子は 1 から 59 までですが、60 を加えて 1 から 60 までとして数えても答えは変わりません。60 は 2 でも 3 でも 5 でも割り切れるので、もともと取りのぞかれる側に入るからです。1 から 60 までにすると、どの倍数の個数もわり切れて計算がしやすくなります。

手順

分母を素因数分解して、出てくる素数（同じ素数は 1 回だけ）を書き出す。例: $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ なら 2, 3, 5。
分子を 1 から分母まで（分母そのものを入れても答えは変わらない）として、それぞれの素数の倍数の個数を求める。例: 2 の倍数 $60 \div 2 = 30$ 個、3 の倍数 20 個、5 の倍数 12 個。
2 つずつの素数の積の倍数（両方で割り切れる数）の個数を求める。例: 6 の倍数 10 個、10 の倍数 6 個、15 の倍数 4 個。素数が 3 つあれば、3 つ全部の積の倍数（例: 30 の倍数 2 個）も求める。
ベン図で「どれかで割り切れる数」の個数を出す。素数が 2 つなら（それぞれの倍数の個数の和）ー（両方の倍数の個数）。素数が 3 つなら $30 + 20 + 12 - 10 - 6 - 4 + 2 = 44$ のように、1 つずつの和から 2 つずつの分をひき、3 つ全部の分をたしもどす。
全体の個数から「どれかで割り切れる数」の個数をひく。例: $60 - 44 = 16$ 個が約分できない分数の個数。

例題

$\frac{1}{60}, \frac{2}{60}, \frac{3}{60}, \dots, \frac{59}{60}$ の 59 個の分数のうち、これ以上約分できない分数は何個ありますか。

例題の解答

手順 1: $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ なので、出てくる素数は 2, 3, 5 です。分子が 2, 3, 5 のどれかの倍数のとき約分でき、どれでも割り切れないとき約分できません。

手順 2: 分子を 1 から 60 までとして数えます（60 は 2 でも 3 でも 5 でも割り切れるので、入れても答えは変わりません）。2 の倍数は $60 \div 2 = 30$ 個、3 の倍数は $60 \div 3 = 20$ 個、5 の倍数は $60 \div 5 = 12$ 個です。

手順 3: 2 つずつの重なりは、6 の倍数 $60 \div 6 = 10$ 個、10 の倍数 $60 \div 10 = 6$ 個、15 の倍数 $60 \div 15 = 4$ 個です。3 つ全部の重なりは 30 の倍数で $60 \div 30 = 2$ 個です。

手順 4: 2, 3, 5 のどれかで割り切れる数は、 $30 + 20 + 12 - 10 - 6 - 4 + 2 = 44$ 個です（30 の倍数は 3 回たされて 3 回ひかれるので、1 回分たしもどします）。

手順 5: 2 でも 3 でも 5 でも割り切れない数は $60 - 44 = 16$ 個です。

たしかめ: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59 の 16 個で、たしかに合っています。

よって、約分できない分数は 16 個です。

答え: $16$

よくある誤り

分母の約数すべて（ $36$ なら 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18）について倍数を取りのぞこうとして、同じ数を何回もひいてしまう誤り。正しくは、素因数分解に出てくる素数（36 なら 2 と 3）の倍数だけを考えればよい。4 の倍数や 6 の倍数は、すでに 2 の倍数に入っている。
両方で割り切れる数をひき忘れ、分母 36 で $36 - 18 - 12 = 6$ 個としてしまう誤り。正しくは、6 の倍数を 2 重にひいているので、 $36 - (18 + 12 - 6) = 12$ 個。
素数が 3 つのときに、3 つ全部で割り切れる数をたしもどし忘れ、 $60 - (30 + 20 + 12 - 10 - 6 - 4) = 18$ 個としてしまう誤り。正しくは、30 の倍数 2 個をたしもどして $60 - 44 = 16$ 個。
分子の範囲を 1 から 59 にしたまま $59 \div 2$ のように計算し、余りの処理をまちがえる誤り。分子を 1 から 60 までにしても、60 は約分できる側に入るので答えは変わらない。わり切れる形にしてから数えるとまちがえにくい。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の $17$ 個の分数があります。
$\frac{1}{18}, \frac{2}{18}, \frac{3}{18}, \dots, \frac{17}{18}$
このうち、これ以上約分できない分数は何個ありますか。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

分子と分母の和が決まった約分できない分数（算数整数の性質）