この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

整数の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル算数整数の性質

次の $17$ 個の分数があります。
$\frac{1}{18}, \frac{2}{18}, \frac{3}{18}, \dots, \frac{17}{18}$
このうち、これ以上約分できない分数は何個ありますか。

この問題で使うもの

約分できない分数の個数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（6 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

分母を素因数分解して、分子がどんな数の倍数のときに約分できるかを考えます。そのあと、ベン図を使って「〜でも〜でも割り切れない数の個数」を求めます。

ヒント 2

$18 = 2 \times 3 \times 3$ なので、分子が $2$ の倍数か $3$ の倍数なら約分できます。 $1$ から $17$ までで、 $2$ でも $3$ でも割り切れない数を数えます。

ヒント 3

$1$ から $17$ までに、 $2$ の倍数は $8$ 個、 $3$ の倍数は $5$ 個、 $6$ の倍数は $2$ 個あります。 $2$ または $3$ で割り切れる数は $8 + 5 - 2$ 個です。

答えと解説

答えを見る

6

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

分数が約分できるのは、分母と分子に $1$ 以外の公約数があるときです。

まず、分母の $18$ を素因数分解すると
$18 = 2 \times 3 \times 3$
です。 $18$ の約数で $1$ 以外のものは、どれも $2$ か $3$ で割り切れます。したがって、分子が $2$ の倍数か $3$ の倍数のとき約分でき、 $2$ でも $3$ でも割り切れないとき約分できません。

そこで、分子の $1$ から $17$ までの整数のうち、「 $2$ でも $3$ でも割り切れない」ものの個数を、ベン図を使って求めます。

$2$ の倍数: $17 \div 2 = 8$ あまり $1$ より $8$ 個
$3$ の倍数: $17 \div 3 = 5$ あまり $2$ より $5$ 個
$2$ でも $3$ でも割り切れる数（ $2$ と $3$ の最小公倍数 $6$ の倍数）: $17 \div 6 = 2$ あまり $5$ より $2$ 個

$2$ または $3$ で割り切れる数は、重なりの $2$ 個を二重に数えないように
$8 + 5 - 2 = 11 （個）$
です。

よって、 $2$ でも $3$ でも割り切れない数は
$17 - 11 = 6 （個）$
です（実際に $1, 5, 7, 11, 13, 17$ の $6$ 個です）。

したがって、これ以上約分できない分数は $6$ 個です。

別解

分子が 18 と 1 以外の公約数をもたなければ約分できない。 $18 = 2 \times 3 \times 3$ なので、分子が 2 の倍数でも 3 の倍数でもない数を数える。1 から 17 のうち、2 の倍数は 8 個（2, 4, …, 16）、3 の倍数は 5 個（3, 6, 9, 12, 15）、6 の倍数は 2 個（6, 12）。2 または 3 の倍数は $8 + 5 - 2 = 11$ 個。よって $17 - 11 = 6$ 個。
検算：該当する分子は 1, 5, 7, 11, 13, 17 の 6 個。

整数の性質の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題