整数の性質の問題

分子と分母の和が $40$ なので、分母は「$40-$ 分子」です。$1$ より小さい分数は分子が分母より小さいので、分子は $40$ の半分の $20$ より小さく、分子は $1$ から $19$ までのどれかです（分子が $20$ だと $\frac{20}{20}$ で $1$ になってしまいます）。

次に、約分できるかどうかを考えます。
- ある数が分子と分母の両方を割り切るなら、その和の $40$ も割り切ります。
- 反対に、ある数が分子と $40$ の両方を割り切るなら、その差である分母（$40-$ 分子）も割り切ります。

つまり、分子と分母の公約数は、分子と $40$ の公約数と同じです。したがって、「約分できない」ことは「分子と $40$ が $1$ 以外の公約数をもたない」ことと同じです。

$40$ を素因数分解すると
$$40=2\times 2\times 2\times 5$$
なので、分子が $2$ でも $5$ でも割り切れなければ約分できません。

$1$ から $19$ までの整数について、ベン図を使って数えます。
- $2$ の倍数: $19÷2=9$ あまり $1$ より $9$ 個
- $5$ の倍数: $19÷5=3$ あまり $4$ より $3$ 個
- $2$ でも $5$ でも割り切れる数（$10$ の倍数）: $19÷10=1$ あまり $9$ より $1$ 個

$2$ または $5$ で割り切れる数は
$$9+3-1=11\text{（個）}$$
なので、$2$ でも $5$ でも割り切れない数は
$$19-11=8\text{（個）}$$
です。実際に、分子は $1,3,7,9,11,13,17,19$ で、分数は $\frac{1}{39},\frac{3}{37},\frac{7}{33},\frac{9}{31},\frac{11}{29},\frac{13}{27},\frac{17}{23},\frac{19}{21}$ の $8$ 個です。

したがって、答えは $8$ 個です。

分子を小さい方とすると、1 より小さいので分子は 1 から 19 までです（分子 20 だと 1 になる）。分子と分母の最大公約数は、分子と和 40 の最大公約数に等しいので、分子が 40 と 1 以外の公約数をもたなければ約分できません。40 の素数は 2 と 5 だけなので、分子は 2 の倍数でも 5 の倍数でもない数です。1 から 19 のうち、そのような数は 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 の 8 個です。
確かめ：例えば $\frac{3}{37}$, $\frac{9}{31}$, $\frac{19}{21}$ は約分できず、$\frac{5}{35}$ や $\frac{15}{25}$ は約分できるので除かれている。