整数の性質の問題

【分子のはんい】
分母を $72$ にそろえると
$$\frac{1}{4}=\frac{18}{72},\frac{2}{3}=\frac{48}{72}$$
なので、分子は $18$ より大きく $48$ より小さい整数、つまり $19$ から $47$ までです。

【約分できない分子】
$72=2\times 2\times 2\times 3\times 3$ なので、分子が $2$ の倍数でも $3$ の倍数でもないとき、これ以上約分できません。$19$ から $47$ までで、$2$ でも $3$ でも割り切れない数は
$$19,23,25,29,31,35,37,41,43,47$$
の $10$ 個です。

【分子の和】
はしから組にすると
$$19+47=66,23+43=66,25+41=66,29+37=66,31+35=66$$
と、どれも $66$ になる組が $5$ 組できるので、分子の和は
$$66\times 5=330$$

【分数の和】
分母はすべて $72$ なので
$$\frac{330}{72}=\frac{55}{12}$$

よって、答えは $\frac{55}{12}$ です。

$\frac{1}{4}=\frac{18}{72}$、$\frac{2}{3}=\frac{48}{72}$ なので、分子は 19 から 47 までの整数。
$72=2\times 2\times 2\times 3\times 3$ なので、約分できないのは分子が 2 でも 3 でもわり切れない数のとき。
19 から 47 のうち、2 でも 3 でもわり切れない数は 19、23、25、29、31、35、37、41、43、47 の 10 個。
（確認: 21、27、33、39、45 は 3 の倍数、偶数は 2 の倍数なので除く。）
分子の和は $19+23+25+29+31+35+37+41+43+47=330$。
和は $\frac{330}{72}=\frac{55}{12}$。
検算: 10 個を、はしから 2 つずつ組にすると (19+47)、(23+43)、(25+41)、(29+37)、(31+35) はどれも 66 で、$66\times 5=330$ で一致する。