整数の性質の問題

求める分数を「$\frac{\text{分子}}{\text{分母}}$」（これ以上約分できない分数）として考えます。

【分子の条件】
$\frac{14}{15}\times \frac{\text{分子}}{\text{分母}}$ が整数になるには、かけたあと約分して分母が $1$ にならなければなりません。$15$ と $14$ は約分できないので、もとの分数の分子が $15$ の倍数であることが必要です。同じように、$\frac{21}{40}$ にかけて整数になるには、分子が $40$ の倍数であることが必要です。
よって分子は $15$ と $40$ の公倍数です。分数をできるだけ小さくしたいので、分子は最小公倍数にします。
$$15=3\times 5,40=2\times 2\times 2\times 5$$
より、最小公倍数は $2\times 2\times 2\times 3\times 5=120$ です。

【分母の条件】
$\frac{14}{15}$ にかけて整数になるには、分母が $14$ で約分されて消えなければならないので、分母は $14$ の約数です。同じように、分母は $21$ の約数でもあります。よって分母は $14$ と $21$ の公約数です。分数をできるだけ小さくしたいので、分母は最大公約数にします。
$$14=2\times 7,21=3\times 7$$
より、最大公約数は $7$ です。

【求める分数】
$$\frac{120}{7}$$
$120$ と $7$ は約分できません。

【たしかめ】
$$\frac{14}{15}\times \frac{120}{7}=\frac{14\times 120}{15\times 7}=2\times 8=16,\frac{21}{40}\times \frac{120}{7}=\frac{21\times 120}{40\times 7}=3\times 3=9$$
どちらも整数になります。

よって、答えは $\frac{120}{7}$ です。

求める分数を「分子 ÷ 分母」の形（約分できない）で考える。
$\frac{14}{15}$ にかけて整数になるには、分子が 15 の倍数で、分母が 14 の約数であればよい。
$\frac{21}{40}$ にかけて整数になるには、分子が 40 の倍数で、分母が 21 の約数であればよい。
分子は 15 と 40 の公倍数で、いちばん小さいのは最小公倍数の 120。
分母は 14 と 21 の公約数で、いちばん大きいのは最大公約数の 7（1 と 7 のうち大きいほう）。
分子を小さく、分母を大きくすると分数は小さくなるので、$\frac{120}{7}$ が最小。120 と 7 は約分できない。
検算: $\frac{14}{15}\times \frac{120}{7}=16$、$\frac{21}{40}\times \frac{120}{7}=9$ でどちらも整数。