整数の性質の問題

分母と分子の和が $120$ なので、分子が決まれば分母は $120-(\text{分子})$ と決まります。分子が分母より小さいので、分子は $1$ から $59$ までの整数です（分子が $60$ だと分母も $60$ になり、分子が分母より小さくなりません）。

約分できるかどうかの見分け方
分子と分母が $2$ 以上の同じ数で割り切れるとき、その数は分子と分母の和 $120$ も割り切ります。反対に、ある数が分子と $120$ を割り切れば、その数は分母 $=120-(\text{分子})$ も割り切ります。
つまり、「分子と分母の公約数」と「分子と $120$ の公約数」は同じです。

$120=2\times 2\times 2\times 3\times 5$ なので、分数が約分できるのは、分子が $2$、$3$、$5$ のどれかで割り切れるときです。したがって、$1$ から $59$ までの整数のうち、$2$ でも $3$ でも $5$ でも割り切れない数の個数を数えればよいことになります。

個数を数える
計算しやすいように $1$ から $60$ までで数えます（$60$ は $2$ で割り切れるので、数える対象には入らず、結果は変わりません）。

• $2$ の倍数: $60÷2=30$ 個
• $3$ の倍数: $60÷3=20$ 個
• $5$ の倍数: $60÷5=12$ 個
• $6$ の倍数（$2$ と $3$ の両方）: $60÷6=10$ 個
• $10$ の倍数（$2$ と $5$ の両方）: $60÷10=6$ 個
• $15$ の倍数（$3$ と $5$ の両方）: $60÷15=4$ 個
• $30$ の倍数（$2$ と $3$ と $5$ のすべて）: $60÷30=2$ 個

ベン図で考えると、$2$、$3$、$5$ の少なくとも $1$ つで割り切れる数は
$$30+20+12-10-6-4+2=44(\text{個})$$
です。よって、どれでも割り切れない数は
$$60-44=16(\text{個})$$
です。

（確かめ）実際に書き出すと $1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59$ の $16$ 個です。たとえば分子が $49$ のときは $\frac{49}{71}$ で、約分できません。

答えは $16$ 個です。

分子と分母の和が $120$ で、分子が分母より小さい分数は、分子が $1$ から $59$ の整数です。

分子と分母の最大公約数は、分子と和 $120$ の最大公約数と同じです（たとえば分子と分母の公約数は和も割り切るため）。したがって、約分できないのは、分子と $120$ が $1$ 以外の公約数を持たない場合です。

$120=2\times 2\times 2\times 3\times 5$ なので、分子が $2,3,5$ のどの倍数でもなければよいです。

$1$ から $120$ までで、$2,3,5$ のどれでも割り切れない数の個数は、$120\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=32$ 個です。この $32$ 個は、和が $120$ になる組（分子 と $120-$分子）でペアになっていて、半分が $60$ より小さいので、$32÷2=16$ 個です（$60$ 自体は $2$ の倍数なので入りません）。

検算: $1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59$ を数えると $16$ 個で、どれも $2,3,5$ で割り切れません。