分子と分母がどちらも 以上の整数で、分子と分母の和が である分数のうち、 より小さく、これ以上約分できないものは何個ありますか。
分子と分母の和が決まった約分できない分数
分子と分母の和が一定のとき、分子と分母の公約数は分子と和の公約数と同じになることを使い、「分子と分母の和が 120 で 1 より小さく、これ以上約分できない分数の個数」を、分子が 1 から 59 までで 120 と 1 以外の公約数をもたない数の個数に言いかえて求められる
前提
- 約分できない分数の個数 （算数 整数の性質）
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- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 〜でも〜でも割り切れる数の個数 （算数 整数の性質）
- 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
- 約分できない分数の個数 （算数 整数の性質）
説明
「分子と分母の和が 120 で、1 より小さく、これ以上約分できない分数は何個ありますか」のように、分母が決まっていない問題で、約分できない分数の個数を求められるようになります。分子と分母の和に注目して、「分子が、和と 1 以外の公約数をもたない数の個数」に言いかえるのがポイントです。言いかえたあとは、前に学んだ「約分できない分数の個数」と同じように、素因数分解とベン図で数えられます。
なぜそうしてよいのか
分子と分母の和が 120 の分数で考えます。分子と分母に共通の約数（たとえば 3）があれば、分子も分母も 3 の倍数なので、その和 120 も 3 の倍数になります。つまり、分子と分母の公約数は、分子と 120 の公約数でもあります。
反対に、分子と 120 に共通の約数（たとえば 3）があれば、分母は「120 ー 分子」なので、3 の倍数から 3 の倍数をひいた数になり、やはり 3 の倍数です。つまり、分子と 120 の公約数は、分子と分母の公約数でもあります。
この 2 つから、「分子と分母の公約数」と「分子と和 120 の公約数」はまったく同じです。だから、分数が約分できないことは、分子が 120 と 1 以外の公約数をもたないことと同じになります。
さらに、分数が 1 より小さいのは分子が分母より小さいとき、つまり分子が和の半分より小さいときです。和が 120 なら、分子は 1 から 59 まで（分子が 60 だと になってしまう）です。こうして問題は「1 から 59 までのうち、120 と 1 以外の公約数をもたない数の個数」になり、これは の中で約分できない分数の個数を数えるのと同じ作業になります。
なお、数える範囲に和の半分（120 なら 60）を入れても答えは変わりません。和の半分は「和 ÷ 2」なので和の約数で、1 より大きければ、和の素因数のどれかで割り切れ、かならず約分できる側に入るからです。これは 2 以外の素数でも同じで、たとえば和が 90 なら、半分の 45 は 2 では割り切れませんが、90 の素因数 3 や 5 で割り切れます。
手順
分子と分母の和を素因数分解し、出てくる素数を書き出す。例: なら 2, 3, 5。
1 より小さい分数なので、分子は和の半分より小さい数になる。分子の範囲を決める。例: 和が 120 なら分子は 1 から 59 まで。
「分数が約分できない」を「分子が、和の素因数（2, 3, 5 など）のどれでも割り切れない」に言いかえる。
分子の範囲の中で、それぞれの素数の倍数、2 つ以上の素数の積の倍数の個数を求め、ベン図で「どれかで割り切れる数」の個数を出す。和が偶数なら、和の半分は和の約数なので（1 でなければ）和の素因数のどれかで割り切れ、範囲を「1 から和の半分まで」にしても答えは変わらない。こうするとわり算がわり切れて数えやすい。
範囲の中の数の個数から「どれかで割り切れる数」の個数をひいて、答えを出す。
例題
分子と分母がどちらも 1 以上の整数で、分子と分母の和が 100 になる分数のうち、1 より小さく、これ以上約分できない分数は何個ありますか。
例題の解答
手順 1: なので、出てくる素数は 2 と 5 です。
手順 2: 1 より小さいので分子は分母より小さく、和 100 の半分 50 より小さい数です。分子は 1 から 49 までです。
手順 3: 分子と分母の公約数は分子と 100 の公約数と同じなので、約分できないのは、分子が 2 でも 5 でも割り切れないときです。
手順 4: 50 は 100 の約数で、100 の素因数 2（と 5）で割り切れるので、範囲を 1 から 50 までにしても答えは変わりません。1 から 50 までで、2 の倍数は 個、5 の倍数は 個、2 でも 5 でも割り切れる 10 の倍数は 個です。2 または 5 で割り切れる数は 個です。
手順 5: 2 でも 5 でも割り切れない数は 個です。たとえば分子 1 なら 、分子 3 なら 、分子 49 なら で、どれも約分できません。
よって、20 個です。
答え:
よくある誤り
分母が決まっていないので、分母の素因数を 1 つずつ調べようとしてしまう誤り。正しくは、分子と分母の公約数は分子と和の公約数と同じなので、和（例: 100 = ）の素因数 2 と 5 だけを考えればよい。
分子の範囲を 1 から 99 までにして、99 個の中から数えてしまう誤り。1 より小さい分数なので分子は和の半分より小さく、和が 100 なら分子は 1 から 49 まで。1 から 99 まで数えると、1 より大きい分数（例: ）までふくめて 2 倍の 40 個になってしまう。
分子が和の半分のとき（例: ）を 1 より小さい分数に入れてしまう誤り。 なので入らない。ただし和の半分は和の約数なので、1 でなければ和の素因数のどれかで割り切れ、数える範囲に入れても約分できる側に入り、答えは変わらない（和が 90 なら半分の 45 は 3 や 5 で割り切れる）。
ベン図で両方の倍数をひき忘れ、 個としてしまう誤り。正しくは、10 の倍数を 2 重にひいているので 個。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。