整数の性質の問題

分子と分母の和が $120$ で、$1$ より小さいので、分子は分母より小さくなります。分子が $60$ のとき分母も $60$ で $1$ になってしまうので、分子は $1$ から $59$ までの整数です。

約分できるかどうかの見分け方
分子と分母がある整数（$1$ より大きい）で両方割り切れるとき、その和の $120$ もその整数で割り切れます。反対に、分子と $120$ がある整数で両方割り切れるとき、分母（$120$ から分子をひいた数）もその整数で割り切れます。
つまり、「分子と分母が同じ数で割り切れる」ことと「分子と $120$ が同じ数で割り切れる」ことは同じです。

$120=2\times 2\times 2\times 3\times 5$ なので、約分できないのは、分子が $2$ でも $3$ でも $5$ でも割り切れないときです。

$1$ から $59$ までで、$2$ でも $3$ でも $5$ でも割り切れない数を数える
$2$ で割り切れない数（奇数）は $1,3,5,\dots ,59$ の $30$ 個です。
このうち $3$ で割り切れるものは $3,9,15,\dots ,57$ で、$6$ ずつ増えるので $(57-3)÷6+1=10$ 個です。
$5$ で割り切れるものは $5,15,25,35,45,55$ の $6$ 個です。
$3$ でも $5$ でも割り切れるもの（$15$ で割り切れる奇数）は $15,45$ の $2$ 個で、上の $2$ つの両方で数えられています。
よって、$3$ または $5$ で割り切れる奇数は $10+6-2=14$ 個です。
したがって、求める個数は
$$30-14=16$$
（実際に書き出すと、分子は $1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59$ の $16$ 個です。）
よって答えは $16$ 個です。

分子と分母の和が $120$ で、$1$ より小さいので、分子は $1$ 以上 $59$ 以下（分子が $60$ だと $1$ になり、$61$ 以上だと $1$ より大きくなる）。

分子と分母の最大公約数は、分子と和 $120$ の最大公約数と同じです。したがって約分できない条件は、分子と $120$ が $1$ 以外の公約数をもたないこと。

$120=2\times 2\times 2\times 3\times 5$ なので、分子が $2$、$3$、$5$ のどれの倍数でもなければよい。$1$ から $120$ までで、$2$、$3$、$5$ のどれの倍数でもない数は、$120\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=32$ 個。

これらは $60$ をはさんで左右対称（分子が条件に合えば $120-$分子 も合う）で、$60$ 自身は合わないので、$59$ 以下には半分の $16$ 個あります。

確かめ: $1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59$ の $16$ 個。