整数の性質の問題

$60=2\times 2\times 3\times 5$ なので、分子が $2$, $3$, $5$ のどれかで割り切れると、分母の $60$ と共通の約数をもつので約分できます。反対に、分子が $2$ でも $3$ でも $5$ でも割り切れなければ、$60$ と共通の約数は $1$ だけなので約分できません。

そこで、$1$ から $59$ までの整数のうち、$2$ でも $3$ でも $5$ でも割り切れない数を探します。

$2$ で割り切れない数（奇数）のうち、$3$ の倍数と $5$ の倍数を取りのぞきます。$1$ から $59$ までの奇数は
$$1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,$$
$$31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51,53,55,57,59$$
の $30$ 個です。このうち $3$ の倍数は $3,9,15,21,27,33,39,45,51,57$ の $10$ 個、$5$ の倍数は $5,15,25,35,45,55$ の $6$ 個で、$15$ と $45$ は両方に入っています。

よって取りのぞく数は $10+6-2=14$ 個で、残りは
$$30-14=16(\text{個})$$
です。実際に書き出すと
$$1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59$$
の $16$ 個です。

よって、約分できない分数は $16$ 個です。

60 を素因数分解すると $60=2\times 2\times 3\times 5$。分子が 60 と共通の約数（1 以外）をもたなければ約分できない。つまり分子が 2 でも 3 でも 5 でも割り切れない数を数える。1 から 60 までで、2 の倍数は 30 個、3 の倍数は 20 個、5 の倍数は 12 個。2 と 3 の両方（6 の倍数）は 10 個、2 と 5 の両方（10 の倍数）は 6 個、3 と 5 の両方（15 の倍数）は 4 個、2 と 3 と 5 のすべて（30 の倍数）は 2 個。2, 3, 5 のどれかで割り切れる数は $30+20+12-10-6-4+2=44$ 個。よって 2, 3, 5 のどれでも割り切れない数は $60-44=16$ 個。分子 60 は分数に含まれないが、60 は 2 で割り切れるので、この 16 個に影響しない。1 から 59 の中でも 16 個。確かめ: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59 の 16 個。