整数の性質の問題

全体の和から、「$3$ の倍数または $5$ の倍数」の和をひいて求めます。

【1 から 300 までの和】
$1+2+\cdots +300$ は、逆の順にならべて上下をたすと、どの組も $301$ になり、それが $300$ 組あるので
$$301\times 300÷2=45150$$

【3 の倍数の和】
$3,6,\cdots ,300$ は $3\times 1,3\times 2,\cdots ,3\times 100$ なので
$$3\times (1+2+\cdots +100)=3\times (101\times 100÷2)=3\times 5050=15150$$

【5 の倍数の和】
$5,10,\cdots ,300$ は $5\times 1,\cdots ,5\times 60$ なので
$$5\times (1+2+\cdots +60)=5\times (61\times 60÷2)=5\times 1830=9150$$

【15 の倍数の和】
$3$ の倍数でも $5$ の倍数でもある数は $15$ の倍数です。$15,30,\cdots ,300$ は $15\times 1,\cdots ,15\times 20$ なので
$$15\times (1+2+\cdots +20)=15\times (21\times 20÷2)=15\times 210=3150$$

【3 の倍数または 5 の倍数の和】
$3$ の倍数の和と $5$ の倍数の和をたすと、$15$ の倍数を 2 回たしていることになるので、1 回分ひきます。
$$15150+9150-3150=21150$$

【求める和】
$$45150-21150=24000$$

よって、答えは $24000$ です。

1 から 300 までの和は $(1+300)\times 300÷2=45150$。
3 の倍数は 3 から 300 まで 100 個で、和は $(3+300)\times 100÷2=15150$。
5 の倍数は 5 から 300 まで 60 個で、和は $(5+300)\times 60÷2=9150$。
3 と 5 の両方の倍数（15 の倍数）は 15 から 300 まで 20 個で、和は $(15+300)\times 20÷2=3150$。
3 の倍数または 5 の倍数の和は、15 の倍数を 2 回数えているので $15150+9150-3150=21150$。
求める和は $45150-21150=24000$。
検算: 15 ごとに区切ると、1 から 15 のうち 3 でも 5 でもない数は 1、2、4、7、8、11、13、14 の 8 個で和は 60。次の 15 個では各数が 15 ずつ大きくなるので、k 番目の区切り（k は 0 から 19）の和は $60+8\times 15\times k=60+120\times k$。20 区切りの合計は $60\times 20+120\times (0+1+\cdots +19)=1200+120\times 190=1200+22800=24000$ で一致する。