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整数の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル算数整数の性質

$1$ から $100$ までの整数のうち、 $3$ でも $4$ でも割り切れる整数は何個ありますか。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

「〜でも〜でも割り切れる数」の個数を求めます。ベン図で $3$ の倍数と $4$ の倍数が重なる部分を考え、その数は $3$ と $4$ の最小公倍数の倍数になることを使います。

ヒント 2

$3$ と $4$ の最小公倍数は $12$ です。 $1$ から $100$ までに $12$ の倍数がいくつあるかを数えます。

ヒント 3

$100 \div 12$ を計算し、その商を考えましょう。

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8

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解説を読む

「 $3$ でも $4$ でも割り切れる数」は、 $3$ の倍数と $4$ の倍数の両方に入っている数です。ベン図でいうと、 $3$ の倍数の円と $4$ の倍数の円が重なった部分にあたります。

(1) 重なった部分がどんな数かを考える

$3$ でも $4$ でも割り切れる数は、 $3$ と $4$ の公倍数です。公倍数は最小公倍数の倍数になります。

$3$ と $4$ を両方わりきれる数は $1$ のほかにないので、最小公倍数は
$3 \times 4 = 12$
です。つまり、 $3$ でも $4$ でも割り切れる数は $12$ の倍数です。

(2) $12$ の倍数の個数を求める

$1$ から $100$ までの $12$ の倍数の個数は、 $100$ を $12$ でわった商です。
$100 \div 12 = 8 あまり 4$

商が $8$ なので、 $12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96$ の $8$ 個です。

答えは $8$ 個です。

別解

3 でも 4 でも割り切れる数は 3 と 4 の最小公倍数 12 の倍数。 $100 \div 12 = 8$ あまり 4 なので 8 個。
検算：12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 の 8 個（次は 108 で 100 をこえる）。