ある駅から、A 行きのバスは 分ごとに、B 行きのバスは 分ごとに出発します。午前 時ちょうどに、A 行きと B 行きのバスが同時に出発しました。このあと、はじめて 2 つのバスが同時に出発するのは、午前 時の何分後ですか。
最大公約数・最小公倍数の文章題
同時に出発する時刻や回数・正方形にしきつめる・同じ数ずつ分けるなどの場面を、最小公倍数か最大公約数のどちらの問題かを見分けて解ける
前提
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 倍数の個数 （算数 整数の性質）
この技能までの道筋（3 技能）
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右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
一覧で見る（前提が先）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 倍数の個数 （算数 整数の性質）
説明
「バスが同時に出発するのは何分後か」「長方形の紙を同じ大きさの正方形に切り分ける」「おかしを同じ数ずつ余りなく分ける」などの文章題を、最小公倍数の問題か最大公約数の問題かを見分けて解けるようになります。問題文の場面を読み取り、「大きくなっていく数がそろう」のか「同じ大きさに分ける」のかを判断するのがポイントです。
なぜそうしてよいのか
最小公倍数の問題と最大公約数の問題は、場面のようすがちがいます。
【最小公倍数の問題】「ある数ずつ増えていくものが、はじめてそろうのはいつか」という場面です。たとえば、A のバスは 12 分ごと、B のバスは 18 分ごとに出発し、午前 8 時に同時に出発したとします。A が出発するのは 12 分後、24 分後、36 分後、…（12 の倍数）、B が出発するのは 18 分後、36 分後、…（18 の倍数）なので、次に同時に出発するのは、両方の倍数になっているいちばん小さい時間、つまり最小公倍数の 36 分後です。その後は 36 分ごと（36 の倍数のとき）に同時に出発します。小さい長方形のタイルをならべて、できるだけ小さい正方形をつくる問題も、正方形の 1 辺がたてと横の両方の倍数になるので、最小公倍数の問題です。
【最大公約数の問題】「大きなものを、同じ大きさや同じ数に余りなく分ける」場面です。たて 84 cm、横 126 cm の紙を同じ大きさの正方形に余りなく切り分けるには、正方形の 1 辺が 84 も 126 もわり切る数（公約数）でなければなりません。その中で「できるだけ大きい正方形」なら最大公約数です。あめ 24 こと ガム 36 こを、何人かに同じ数ずつ余りなく分けるときの「できるだけ多くの人数」も、人数が 24 と 36 の両方をわり切るので最大公約数です。
見分け方の目安は、答えが元の数より「大きくなる（そろう・つくる）」なら最小公倍数、「小さくなる（分ける・切る）」なら最大公約数です。
手順
問題の場面を読み、元の数が「くり返し増えてそろう・ならべて大きな形をつくる」場面か、「余りなく同じ大きさ・同じ数に分ける」場面かを判断する
そろう・つくる場面なら最小公倍数、分ける・切る場面なら最大公約数を、すだれ算で求める
求めた数が問題の何にあたるか（時間・正方形の 1 辺・人数など）を確かめる
問われているのが枚数・個数・時刻・回数などなら、求めた数を使ってさらに計算する（例: 枚数は「たて方向の枚数 × 横方向の枚数」、回数は倍数の個数）
例題
たて 84 cm、横 126 cm の長方形の紙があります。この紙を、すき間も余りもなく、同じ大きさのできるだけ大きい正方形に切り分けます。正方形は何枚できますか。
例題の解答
手順1: 大きな紙を同じ大きさの正方形に余りなく「切り分ける」場面なので、正方形の 1 辺は 84 と 126 の公約数です。「できるだけ大きい」ので最大公約数を使います。
手順2: すだれ算をします。84 と 126 を 2 でわって 42 と 63、3 でわって 14 と 21、7 でわって 2 と 3。2 と 3 は 1 しか共通な約数がないのでやめます。最大公約数は です。
手順3: 正方形の 1 辺は 42 cm です。
手順4: たて方向には （枚）、横方向には （枚）ならぶので、全部で （枚）です。
答えは 6 枚です。
答え:
よくある誤り
「分ける」場面で最小公倍数を使ってしまう誤り。たて 84 cm、横 126 cm の紙を切り分ける正方形の 1 辺を、最小公倍数の 252 cm としてはいけません。紙より大きくなってしまいます。正しくは最大公約数の 42 cm です。
「そろう」場面で最大公約数を使ってしまう誤り。12 分ごとと 18 分ごとに出発するバスが次に同時に出発するのを、最大公約数の 6 分後としてはいけません。6 分後にはどちらも出発しません。正しくは最小公倍数の 36 分後です。
最大公約数を求めたところで止めて、枚数を答えない誤り。上の例題で答えを 42 としてはいけません。42 は正方形の 1 辺の長さで、問われている枚数は 枚です。
同時に出発する回数で、最初の同時出発を数え忘れる誤り。午前 8 時に同時に出発し、そこから 2 時間（120 分）の間に 36 分ごとに同時に出発するとき、回数を あまり 12 で 3 回 としてはいけません。8 時ちょうどの 1 回もふくめると、正しくは 回です。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
ある駅から、バスは 分おきに、電車は 分おきに出発します。午前 時ちょうどに、バスと電車が同時に出発しました。午前 時から午後 時までの間（午前 時と午後 時もふくみます）に、バスと電車が同時に出発するのは何回ありますか。
縦 cm、横 cm の長方形の床があります。この床に、1 辺の長さが整数（cm）である同じ大きさの正方形のタイルを、すきまなく、重ならないように、床からはみ出さないようにしきつめます。タイルの 1 辺の長さをできるだけ長くするとき、タイルは全部で何枚必要ですか。
りんごが 個、みかんが 個、かきが 個あります。これらを何人かの子どもに配ります。りんごを 人に同じ数ずつ配ると 個余り、みかんを 人に同じ数ずつ配ろうとすると 個たりず、かきを 人に同じ数ずつ配るとちょうど配り切れました。子どもの人数として考えられるもののうち、最も多い人数は何人ですか。
ある駅から、A 行きのバスは 分おきに、B 行きのバスは 分おきに、C 行きのバスは 分おきに発車します。午前 時ちょうどに、この つの行き先のバスが同時に発車しました。午前 時から午後 時まで（午前 時ちょうどと午後 時ちょうどもふくみます）の間に、 つの行き先のうちちょうど つの行き先のバスが同時に発車することは何回ありますか。
3 つのランプ A、B、C があります。A は 秒ごとに、B は 秒ごとに、C は 秒ごとに一瞬だけ光ります。いま、3 つのランプが同時に光りました。このときから 時間後までの間に（はじめに同時に光った時はふくめず、 時間後ちょうどの時はふくめます）、3 つのランプのうち、ちょうど 2 つだけが同時に光ることは何回ありますか。