整数の性質の問題

午前 $6$ 時から午後 $8$ 時までは $14$ 時間で、$60\times 14=840$ 分です。午前 $6$ 時から数えて $0$ 分後から $840$ 分後までを考えます。

A 行きは $12$ の倍数の分、B 行きは $18$ の倍数の分、C 行きは $30$ の倍数の分（$0$ 分をふくむ）に発車します。

$2$ つずつ同時に発車する時刻
- A と B: $12$ と $18$ の最小公倍数は $36$ です。$840÷36=23$ あまり $12$ なので、$36$ の倍数は $36\times 1$ から $36\times 23$ までの $23$ 回あり、$0$ 分後をふくめて $24$ 回です。
- A と C: $12$ と $30$ の最小公倍数は $60$ です。$840÷60=14$ なので、$0$ 分後をふくめて $15$ 回です。
- B と C: $18$ と $30$ の最小公倍数は $90$ です。$840÷90=9$ あまり $30$ なので、$0$ 分後をふくめて $10$ 回です。

$3$ つ同時に発車する時刻
$12$、$18$、$30$ の最小公倍数は $180$ です。$840÷180=4$ あまり $120$ なので、$0$ 分後をふくめて $5$ 回です。

ちょうど $2$ つが同時に発車する回数
上の「A と B」の $24$ 回には、$3$ つ同時の $5$ 回がふくまれています。「A と C」「B と C」も同じです。そこで、それぞれから $3$ つ同時の回数をひきます。
- A と B だけ: $24-5=19$ 回
- A と C だけ: $15-5=10$ 回
- B と C だけ: $10-5=5$ 回

合計は
$$19+10+5=34(\text{回})$$
です。

答えは $34$ 回です。

午前 $6$ 時から午後 $8$ 時までは $14$ 時間、つまり $840$ 分です。午前 $6$ 時ちょうどを $0$ 分として、$0$ 分から $840$ 分までを調べます。

$2$ つの行き先が同時に発車するのは、発車間隔の最小公倍数ごとです。
- A と B: $12$ と $18$ の最小公倍数 $36$ 分ごと
- A と C: $12$ と $30$ の最小公倍数 $60$ 分ごと
- B と C: $18$ と $30$ の最小公倍数 $90$ 分ごと
- 3 つ全部: $12,18,30$ の最小公倍数 $180$ 分ごと

$0$ 分をふくめて回数を数えます。
- $36$ の倍数: $840÷36=23$ あまり $12$ なので $23+1=24$ 回
- $60$ の倍数: $840÷60=14$ なので $14+1=15$ 回
- $90$ の倍数: $840÷90=9$ あまり $30$ なので $9+1=10$ 回
- $180$ の倍数: $840÷180=4$ あまり $120$ なので $4+1=5$ 回

「ちょうど $2$ つ」は、3 つ全部が同時の回をのぞきます。
- A と B だけ: $24-5=19$ 回
- A と C だけ: $15-5=10$ 回
- B と C だけ: $10-5=5$ 回

合計は $19+10+5=34$ 回です。

検算: 3 つ全部が同時のとき、必ずどの $2$ つも同時になるので、各組の回数から $5$ を引けば「その $2$ つだけ」になります。