整数の性質の問題

りんごは $3$ 個余ったので、余りをのぞいた
$$135-3=132(\text{個})$$
が子どもの人数で割り切れます。
みかんは $4$ 個たりなかったので、あと $4$ 個あれば配り切れます。つまり
$$176+4=180(\text{個})$$
が子どもの人数で割り切れます。
かきはちょうど配り切れたので、$96$ 個が子どもの人数で割り切れます。

したがって、子どもの人数は $132,180,96$ の公約数です。最も多い人数は、これらの最大公約数です。
$$132=2\times 2\times 3\times 11$$
$$180=2\times 2\times 3\times 3\times 5$$
$$96=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3$$
$3$ つに共通な部分は $2\times 2\times 3$ なので、最大公約数は $12$ です。

また、りんごの余り $3$ 個やみかんのたりない $4$ 個は人数の $12$ 人より少ないので、条件に合います。
確かめ: りんご $135=12\times 11+3$、みかん $12\times 15=180$ で $176$ 個では $4$ 個たりない、かき $96=12\times 8$。
よって答えは $12$ 人です。

りんごは $3$ 個余るので、配った数は $135-3=132$ 個。みかんは $4$ 個たりないので、ちょうど配るには $176+4=180$ 個必要。かきは $96$ 個がちょうど配り切れる。

人数は $132$、$180$、$96$ のすべてをわり切る数、つまり公約数です。$132=2\times 2\times 3\times 11$、$180=2\times 2\times 3\times 3\times 5$、$96=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3$ なので最大公約数は $2\times 2\times 3=12$。公約数は $12$ の約数 $1,2,3,4,6,12$。

りんごの余り $3$ は人数より小さくなければならないので、人数は $4$ 以上。みかんの不足 $4$ 個についても、人数が $4$ 以上であることが必要。この条件のもとで最も多い人数は $12$ 人。

検算: $12$ 人のとき、りんご $135÷12=11$ あまり $3$、みかん $176÷12=14$ あまり $8$（$15$ 個ずつなら $180$ 個必要で $4$ 個たりない）、かき $96÷12=8$ でちょうど。すべて合います。