整数の性質の問題
あめが何個かあります。このあめを 個ずつ袋に入れると 個余り、 個ずつ袋に入れると 個余り、 個ずつ袋に入れると 個余ります。あめの個数が けたの数であるとき、あめの個数として考えられる数は全部で何通りありますか。
この問題で使うもの
- 余りの条件を満たす整数（説明と入口の問題）
- 最大公約数と最小公倍数（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（3 技能）
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
個ずつで 個余る、 個ずつで 個余るということは、どちらも「あと 個あればちょうど分けられる」ということです。
ヒント 2
あめの個数は の倍数より 小さい数です。その中から で割ると 余る最も小さい数をさがし、そこから の最小公倍数ずつ大きくなることを使いましょう。
ヒント 3
条件にあう数は と ずつ大きくなります。このうち 以上 以下のものがいくつあるかを数えましょう。
答えと解説
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解説を読む
【4 個ずつと 6 個ずつの条件】
個ずつ入れると 個余るので、あめがあと 個あれば 個ずつちょうど分けられます。同じように、 個ずつ入れると 個余るので、あと 個あれば 個ずつちょうど分けられます。
つまり、あめの個数に をたした数は と の公倍数です。 と の最小公倍数は なので、あめの個数は「 の倍数より 小さい数」で、
と、 から始まって ずつ大きくなります。
【9 個ずつの条件】
この中から、 で割ると 余る数を小さい順にさがします。
- あまり （ちがう）
- あまり （あてはまる）
よって、条件にあう最も小さい数は です。
【条件にあう数のならび】
でも でも でも割り切れる数、つまり の最小公倍数 の倍数をたしても、それぞれの余りは変わりません。逆に、条件にあう数どうしの差は のどれでも割り切れるので の倍数です。よって、条件にあう数は
と、 から始まって ずつ大きくなります。
【3 けたのものを数える】
に を何回たした数かで考えます。
- は けた、 は けたなので、 けたになるのは を 回たしたときからです。
- あまり なので、 が 以下で最大です（次の は けたです）。
よって、 をたす回数は 回から 回までで、
通りあります。
【たしかめ】、 で、どちらも条件にあいます。
よって、答えは 通りです。
別解
あめの個数を、条件ごとに考える。
6 個ずつ入れると 5 個余り、9 個ずつ入れると 5 個余る。したがって、あめの個数から 5 を引いた数は 6 でも 9 でも割り切れる。つまり 6 と 9 の公倍数、すなわち 18 の倍数である。
4 個ずつ入れると 3 個余る。あめの個数から 5 を引いた数を 4 で割ると、(3 − 5) を 4 で考えて、余りは 2 になる（例えば 3 個余る数から 5 を引くと、4 で割って 2 余る数になる）。
18 の倍数を小さい順に調べる。18 → 4 で割ると 2 余る。36 → 0 余る。54 → 2 余る。72 → 0 余る。このように、18 の倍数は 1 つおきに「4 で割って 2 余る」数になる。
18 の倍数のうち 4 で割って 2 余るのは 18, 54, 90, … で、36 ごとに現れる。
よって、あめの個数は 18 + 5 = 23 から始まり、36 ずつ増える数である。
23, 59, 95, 131, 167, …
3 けたの数になるのは、131 から。最大は、23 + 36 × 27 = 995。(23 + 36 × 28 = 1031 は 4 けた。)
131 = 23 + 36 × 3、995 = 23 + 36 × 27 なので、36 を足す回数が 3 回から 27 回までで、27 − 3 + 1 = 25 通り。
検算：131 ÷ 4 = 32 あまり 3、131 ÷ 6 = 21 あまり 5、131 ÷ 9 = 14 あまり 5 で条件に合う。995 ÷ 4 = 248 あまり 3、995 ÷ 6 = 165 あまり 5、995 ÷ 9 = 110 あまり 5 で条件に合う。また、99 以下の最大は 95、1000 以上の最小は 1031 で、範囲外。
したがって 25 通り。