代数的整数論の問題

$v=v_3$ を $3$ 進付値とする。

補題. $k\ge 1$ のとき、写像 $z\mapsto z^3$ は $1+3^k{\mathbb{Z}}_3$ から $1+3^{k+1}{\mathbb{Z}}_3$ への全単射である。

実際、$z=1+3^{k}b$ $(b\in {\mathbb{Z}}_3)$ に対し
$$z^3=1+3^{k+1}b+3^{2k+1}{b}^2+3^{3k}{b}^3$$
で、$k\ge 1$ より $2k+1\ge k+2,3k\ge k+2$ だから $z^3\equiv 1+3^{k+1}b(\mathrm{mod}{3}^{k+2})$。したがって $z^3\in 1+3^{k+1}{\mathbb{Z}}_3$ であり、さらに $b\in 3^j{\mathbb{Z}}_3\setminus 3^{j+1}{\mathbb{Z}}_3$ なら $z^3-1$ の付値はちょうど $k+1+j$ となる。これを各段階に適用して逐次近似（$3$ 進的な完備性）を用いると全射性が、また $z^3=w^3$ $(z,w\in 1+3{\mathbb{Z}}_3)$ なら $u=z/w\in 1+3{\mathbb{Z}}_3$ が $u^3=1$ をみたし、$u\ne 1$ なら $u=1+3^{k}b$（$b$ は単数、$k\ge 1$）として $v(u^3-1)=k+1<\infty$ となって矛盾するので単射性が従う。

解の一意性と位置. $x^3=10$ なら $v(x)=0$。$x^3\equiv x(\mathrm{mod}3)$（フェルマー）より $x\equiv 10\equiv 1(\mathrm{mod}3)$、すなわち $x\in 1+3{\mathbb{Z}}_3$。$10\in 1+9{\mathbb{Z}}_3$ なので、補題（$k=1$）から $x$ はただ $1$ つ存在する。

近似解. $13^3=2197=10+2187=10+3^7$ である。そこで
$$w=\frac{x}{13}$$
とおくと $w\in 1+3{\mathbb{Z}}_3$（$13\equiv 1(\mathrm{mod}3)$）で、
$$w^3=\frac{10}{13^3}=\frac{13^3-3^7}{13^3}=1-\frac{3^7}{2197}\in 1+3^7{\mathbb{Z}}_3$$
（$2197$ は $3$ 進単数）。$w\in 1+3^k{\mathbb{Z}}_3\setminus 1+3^{k+1}{\mathbb{Z}}_3$ とすると補題の計算から $v(w^3-1)=k+1$ であり、$v(w^3-1)=7$ なので $k=6$、すなわち $w\in 1+3^6{\mathbb{Z}}_3$。

よって $x=13w\equiv 13(\mathrm{mod}{3}^6)$ となり、$a=13$。

（補足: $w\notin 1+3^7{\mathbb{Z}}_3$ なので $x\not\equiv 13(\mathrm{mod}{3}^7)$ である。）

$x^3=10$ の ${\mathbb{Z}}_3$ での解を $x$ とする。$3$ を法として $x^3\equiv 10\equiv 1$ より $x\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ で、$x$ は単数。
補題: 単数 $u,v$ が $u\equiv v(\mathrm{mod}{3}^k)$（$k\ge 1$）ならば $u^3\equiv v^3(\mathrm{mod}{3}^{k+1})$ であり、逆に $u^3\equiv v^3(\mathrm{mod}{3}^{k+1})$ かつ $u\equiv v(\mathrm{mod}3)$ ならば $u\equiv v(\mathrm{mod}{3}^k)$。（$u=v(1+3^{k}w)$ とおくと $u^3=v^3(1+3^{k+1}w+3^{2k+1}{w}^2+3^{3k}{w}^3)$ で、$k\ge 1$ なので $u^3/v^3\equiv 1+3^{k+1}w(\mathrm{mod}{3}^{k+2})$。よって $u^3\equiv v^3(\mathrm{mod}{3}^{k+1})$ と $3^{k}w\equiv 0$ の同値が $w\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ ... すなわち $u\equiv v(\mathrm{mod}{3}^{k+1})$ と $u^3\equiv v^3(\mathrm{mod}{3}^{k+2})$ が同値。）
$13^3=2197=10+2187=10+3^7$ であるから $13^3\equiv 10(\mathrm{mod}{3}^7)$。$x^3=10$ なので $x^3\equiv 13^3(\mathrm{mod}{3}^7)$。また $x\equiv 1\equiv 13(\mathrm{mod}3)$。補題を $k=6$ で使うと $x\equiv 13(\mathrm{mod}{3}^6)$。
$0\le a<3^6=729$ だから $a=13$。
検算: $13^3=2197$、$2197-10=2187=3^7$。$3^7$ で割り切れるので $13$ は $x^3=10$ を $3^7$ まで満たし、解 $x$ は $13$ と $3^6$ を法として一致する。