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代数的整数論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学代数的整数論

$f (x) = x^{3} - 3 x + 2 \in Z [x]$ とする。合同式
$f (x) \equiv 0 (mod 3^{9})$
をみたす $x \in Z / 3^{9} Z$ の個数を求めよ。

この問題で使うもの

ヘンゼルの補題と p 進数での根（説明と入口の問題）
p 進付値と p 進収束（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f (x)$ を因数分解し、 $mod 3$ での根の重複度を調べましょう。重根があるので、 $t = x - 1$ とおいて $3$ 進付値 $v_{3} (f)$ を直接評価する方針が有効です。

ヒント 2

$f (x) = (x - 1)^{2} (x + 2) = t^{2} (t + 3)$ より $v_{3} (f) = 2 v_{3} (t) + v_{3} (t + 3)$ です。 $v_{3} (t) = 0$ 、 $v_{3} (t) = 1$ 、 $v_{3} (t) \geq 2$ の場合に分けて考えましょう。

ヒント 3

$v_{3} (t) = 1$ のとき $t = 3 u$ とおくと $f = 27 u^{2} (u + 1)$ なので、 $u \equiv - 1 (mod 3^{6})$ が条件になります。 $v_{3} (t) \geq 2$ のときは $v_{3} (f) = 2 v_{3} (t) + 1$ です。

答えと解説

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252

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解説を読む

$v = v_{3}$ を $3$ 進付値とします。 $f (x) \equiv 0 (mod 3^{9})$ は $v (f (x)) \geq 9$ と同値です。 $f$ は整数係数なので、 $f (x) mod 3^{9}$ は $x mod 3^{9}$ だけで決まります。

因数分解と変数変換
$f (x) = x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$
です。 $mod 3$ では $x + 2 \equiv x - 1$ なので $f \equiv (x - 1)^{3}$ となり、 $x \equiv 1$ が $3$ 重根です。よって、通常のヘンゼルの補題（ $f^{'} (a) \neq \equiv 0$ の場合）はそのままでは使えません。そこで $t = x - 1$ とおきます。 $x \mapsto t$ は $Z / 3^{9} Z$ 上の全単射で、
$f (x) = t^{2} (t + 3)$
となります。 $v (f) = 2 v (t) + v (t + 3) \geq 9$ をみたす $t mod 3^{9}$ を、 $v (t)$ で場合分けして数えます。

(i) $v (t) = 0$ のとき
$t + 3$ も単数なので $v (f) = 0$ です。解はありません。

(ii) $v (t) = 1$ のとき
$t = 3 u$ （ $u$ は単数）とおくと
$f = 9 u^{2} \cdot 3 (u + 1) = 27 u^{2} (u + 1)$
なので、 $v (f) = 3 + v (u + 1)$ です。条件は $v (u + 1) \geq 6$ 、すなわち $u \equiv - 1 (mod 3^{6})$ です。このとき $u \equiv 2 (mod 3)$ なので、 $u$ は確かに単数です。 $t mod 3^{9}$ に対して $u$ は $mod 3^{8}$ で決まるので、条件をみたす $u mod 3^{8}$ は $3^{8 - 6} = 9$ 個あります。よって $t$ は $9$ 個です。

これは、 $f$ の単根 $x = - 2$ （ $t = - 3$ ）の近くの解にあたります。実際 $f^{'} (- 2) = 9$ で $v (f^{'} (- 2)) = 2$ なので、ヘンゼルの補題の考え方どおり、 $t \equiv - 3 (mod 3^{9 - 2})$ の形の解が $3^{2}$ 個現れます。

(iii) $v (t) \geq 2$ のとき（ $t \equiv 0$ を含む）
$t + 3 = 3 (1 + t /3)$ で $1 + t /3$ は単数なので、 $v (t + 3) = 1$ です。よって $v (f) = 2 v (t) + 1$ となり、条件は $2 v (t) + 1 \geq 9$ 、すなわち $v (t) \geq 4$ です（ $t \equiv 0 (mod 3^{9})$ のときも $f \equiv 0$ なので含まれます）。 $v (t) \geq 4$ をみたす $t mod 3^{9}$ は $3^{9 - 4} = 3^{5} = 243$ 個です。

これは重根 $x = 1$ （ $t = 0$ ）の近くの解にあたります。

(ii) の解は $v (t) = 1$ 、(iii) の解は $v (t) \geq 4$ なので、重なりはありません。したがって、求める個数は
$9 + 243 = 252$
です。

別解

$f (x) = (x - 1)^{2} (x + 2)$ なので $y = x - 1$ とおくと $f = y^{2} (y + 3)$ となる。 $y \in Z / 3^{9}$ で $y^{2} (y + 3) \equiv 0 (mod 3^{9})$ となる個数を数える。 $v = v_{3} (y)$ で場合分けする。

$v = 0$ : $y$ も $y + 3$ も 3 と互いに素なので不適。
$v \geq 2$ : $y + 3 = 3 (1 + 3 w^{'})$ の形で $v_{3} (y + 3) = 1$ となる。全体の 3 進付値は $2 v + 1$ なので、 $2 v + 1 \geq 9$ すなわち $v \geq 4$ が条件。 $y \equiv 0 (mod 81)$ を満たす $y$ は $3^{9} / 3^{4} = 3^{5} = 243$ 個。
$v = 1$ : $y = 3 u$ （ $u$ は 3 の倍数でない）とおくと $y + 3 = 3 (u + 1)$ 。全体の付値は $3 + v_{3} (u + 1)$ なので、 $v_{3} (u + 1) \geq 6$ が条件。 $u \equiv - 1 (mod 3^{6})$ で、 $u$ は $mod 3^{8}$ で決まるから $3^{2} = 9$ 個。このとき $u$ は自動的に 3 の倍数でない。

以上より $243 + 9 = 252$ 。

検算: $v = 1$ の解は $y \equiv - 3 (mod 3^{7})$ で、 $y mod 3^{9}$ としては 9 個。 $y = - 3$ のとき $y^{2} (y + 3) = 0$ となり確かに解である。

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