代数的整数論の問題

$v=v_3$ を $3$ 進付値とする。

ニュートン多角形. 係数の付値は、定数項 $9$ が $2$、$x$ の係数 $3$ が $1$、$x^2$ の係数 $1$ が $0$、$x^3$ の係数 $1$ が $0$ である。点 $(0,2),(1,1),(2,0),(3,0)$ の下側凸包は、傾き $-1$ の線分 $(0,2)$–$(2,0)$（長さ $2$）と傾き $0$ の線分 $(2,0)$–$(3,0)$（長さ $1$）からなる。したがって $f$ の根（$\overline{{\mathbb{Q}}_3}$ 内）は、付値 $1$ のものが $2$ 個、付値 $0$ のものが $1$ 個である。また $f$ は ${\mathbb{Q}}_3$ 上で、付値 $1$ の根をもつ 2 次式と付値 $0$ の根をもつ 1 次式の積に分解する。

付値 $0$ の根. 1 次因子に対応するので、この根は ${\mathbb{Q}}_3$ に属する（実際 $f\equiv x^2(x+1)(\mathrm{mod}3)$ で $x=-1$ は単根なので、Hensel の補題からも $x\equiv -1(\mathrm{mod}3)$ の根が存在する）。

付値 $1$ の根. $x=3y$ とおくと
$$f(3y)=27y^3+9y^2+9y+9=9g(y),g(y)=3y^3+y^2+y+1.$$
付値 $1$ の根 $x\in {\mathbb{Q}}_3$ があれば、$y=x/3\in {\mathbb{Z}}_3^{\times }$ が $g(y)=0$ をみたす。$g(y)\equiv y^2+y+1\equiv (y-1{)}^2(\mathrm{mod}3)$ なので $y\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ でなければならない。$y=1+3z$（$z\in {\mathbb{Z}}_3$）を代入すると
$$g(1+3z)=3(1+3z{)}^3+(1+3z{)}^2+(1+3z)+1=6+36z+90z^2+81z^3.$$
これは $\equiv 6(\mathrm{mod}9)$ なので $0$ にならない。よって付値 $1$ の根は ${\mathbb{Q}}_3$ に属さない（対応する 2 次因子は ${\mathbb{Q}}_3$ 上既約である）。

以上より、${\mathbb{Q}}_3$ における根はちょうど $1$ 個である。

$f(x)=x^3+x^2+3x+9$ の ${\mathbb{Q}}_3$ での根を調べる。

(i) 単位元根: $f\equiv x^2(x+1)(\mathrm{mod}3)$。$x\equiv -1$ では $f(-1)=6$, $f^{\prime }(x)=3x^2+2x+3$, $f^{\prime }(-1)=4$ は単数、$v_3(f(-1))=1>0=2v_3(f^{\prime }(-1))$ なのでヘンゼルの補題により ${\mathbb{Z}}_3$ にちょうど 1 根が存在する（$x\equiv -1(\mathrm{mod}3)$）。$x\equiv 0,1$ では $f\equiv 0,2(\mathrm{mod}3)$ となり $x\equiv 1$ は根にならない。

(ii) ニュートン多角形: 点 $(0,2),(1,1),(2,0),(3,0)$。付値 $1$ の根が 2 個、付値 $0$ の根が 1 個。付値 $1$ の根: $x=3y$ とおくと $f=9(3y^3+y^2+y+1)=9g(y)$。$g$ の根で $y$ が整数のとき、$y\not\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なら $g\equiv (y-1{)}^2\not\equiv 0$、$y\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なら $y=1+3t$ で $g=6+36t+90t^2+81t^3=3(2+12t+30t^2+27t^3)$ で括弧内は $\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ となり $v_3(g)=1$。よって $g$ は ${\mathbb{Z}}_3$ に根をもたない。

したがって ${\mathbb{Q}}_3$ 内の根は (i) の 1 個のみ（残る 2 根は ${\mathbb{Q}}_3$ 上の既約な 2 次因子の根）。

答え: $1$