代数的整数論の問題

1. 既約性と多項式の判別式

$f$ の係数 $5,10,20$ はすべて $5$ で割り切れ、定数項 $20$ は $25$ で割り切れない。よって $f$ は $5$ に関するアイゼンシュタイン多項式であり、$\mathbb{Q}$ 上既約である。したがって $[K:\mathbb{Q}]=3$ である。

$x^3+a{x}^2+bx+c$ の判別式は
$$\Delta =a^2{b}^2-4b^3-4a^{3}c-27c^2+18abc$$
である。$a=5,b=10,c=20$ を代入すると
$$\Delta =2500-4000-10000-10800+18000=-4300=-2^2\cdot 5^2\cdot 43$$
となる。

一般に、指数 $m=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ を用いて $\Delta =m^2{d}_K$ が成り立つ。よって $m^2\mid 2^2\cdot 5^2\cdot 43$、すなわち $m\mid 10$ である。

2. 素数 $5$

$f$ は $5$ に関してアイゼンシュタインである。アイゼンシュタイン多項式の根 $\alpha$ について $p\nmid [{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ が成り立つ（$p$ は $K$ で完全分岐し、$\mathbb{Z}[\alpha ]$ は $p$ で極大である）。したがって $5\nmid m$ である。

3. 素数 $2$

$f(x)\equiv x^3+x^2=x^2(x+1)(\mathrm{mod}2)$ であり、重根 $0$ のまわりで定数項 $20$ が $4$ で割り切れる。そこで $\eta ={\alpha }^2+\alpha$、$\theta =\frac{{\alpha }^2+\alpha }{2}$ を考える。

$f$ の根 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ の冪和を $p_k=\sum {\alpha }_i^k$ とおく。$p_1=-5$ である。また、基本対称式 ${\sigma }_1=-5,{\sigma }_2=10$ から
$$p_2={\sigma }_1^2-2{\sigma }_2=25-20=5$$
となる。${\alpha }^3=-5{\alpha }^2-10\alpha -20$ より
$$p_3=-5\cdot 5-10\cdot (-5)-60=-35$$
である。さらに ${\alpha }^4=-5{\alpha }^3-10{\alpha }^2-20\alpha$ より
$$p_4=175-50+100=225$$
である。これらを用いると、次のようになる。
- $\mathrm{Tr}(\eta )=p_2+p_1=0$
- $\mathrm{Tr}({\eta }^2)=p_4+2p_3+p_2=225-70+5=160$ より、$\eta$ の共役の 2 次基本対称式は $\frac{0^2-160}{2}=-80$
- $N(\eta )=N(\alpha )N(\alpha +1)$ である。$N(\alpha )=-20$、$N(\alpha +1)=-f(-1)=-14$ なので $N(\eta )=280$

よって $\theta =\eta /2$ の特性多項式は
$$x^3-0\cdot x^2+\frac{-80}{4}x-\frac{280}{8}=x^3-20x-35$$
となる。これは整数係数のモニック多項式なので、$\theta \in {\mathcal{O}}_K$ である。

一方、$1,\alpha ,{\alpha }^2$ は $\mathbb{Q}$ 上の基底であり、$\theta$ の係数には $\frac{1}{2}$ が現れるから $\theta \notin \mathbb{Z}[\alpha ]$ である。ゆえに $2\mid m$ である。さらに $v_2(\Delta )=2$ なので $v_2(m)\le 1$ となる。

4. 結論

以上より $m=2$ であり、
$$d_K=\frac{-4300}{2^2}=-1075$$
となる。

（検算）$\theta$ の最小多項式 $x^3-20x-35$ の判別式は $-4(-20{)}^3-27\cdot 35^2=32000-33075=-1075$ であり、${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\theta ]$ と整合する。また $-1075\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ で、スティッケルベルガーの定理とも矛盾しない。

$f$ は $5$ に関するアイゼンシュタインの条件を満たす（係数 $5,10,20$ は $5$ の倍数で、定数項 $20$ は $25$ で割れない）ので、$f$ は $\mathbb{Q}$ 上既約であり、$[K:\mathbb{Q}]=3$ である。

3次式 $x^3+a{x}^2+bx+c$ の判別式の公式 $a^2{b}^2-4b^3-4a^{3}c-27c^2+18abc$ に $a=5,b=10,c=20$ を代入する。
$2500-4000-10000-10800+18000=-4300$。
よって $\mathrm{disc}(f)=-4300=-2^2\cdot 5^2\cdot 43$。

一般に $\mathrm{disc}(f)=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]{]}^2{d}_K$ であるから、指数は $2$ か $5$ のみを素因数にもちうる。

$5$ について: アイゼンシュタインの条件より $5\nmid [{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$。

$2$ について: $f\equiv x^2(x+1)(\mathrm{mod}2)$。デデキントの判定法で $g=x(x+1)$、$h=x$ とおくと、
$F=(f-gh)/2=(4x^2+10x+20)/2=2x^2+5x+10\equiv x(\mathrm{mod}2)$。
$\gcd (\bar{F},\bar{g},\bar{h})=x\ne 1$ なので $\mathbb{Z}[\alpha ]$ は $2$ で極大でなく、$2$ は指数を割り切る。
指数の平方は $4$ を割り切るので、指数 $=2$。

以上より $d_K=-4300/4=-1075=-5^2\cdot 43$。

検算: $5$ は完全分岐するので $5^2\mid d_K$ であり、これは $-1075$ と整合する。また $d_K\equiv 1(\mathrm{mod}4)$（$-1075=-1076+1$）であり、スティッケルベルガーの条件とも矛盾しない。