代数的整数論の問題

$f$ の既約性. $f$ がモニックな整数係数 $3$ 次式なので、可約なら $4$ の約数 $\pm 1,\pm 2,\pm 4$ のいずれかを根にもつ。$f(1)=-4$, $f(-1)=-4$, $f(2)=2$, $f(-2)=-10$, $f(4)=56$, $f(-4)=-64$ はどれも $0$ でないので $f$ は $\mathbb{Q}$ 上既約であり、$[K:\mathbb{Q}]=3$。

$f$ の判別式. $x^3+ax+b$ の判別式は $-4a^3-27b^2$ なので、$a=-1$, $b=-4$ として $$\mathrm{disc}(f)=-4\cdot (-1{)}^3-27\cdot 16=4-432=-428=-2^2\cdot 107.$$ $107$ は素数である（$\sqrt{107}<11$ で、$2,3,5,7$ で割り切れない）。

$\alpha$ は代数的整数なので $\mathbb{Z}[\alpha ]\subseteq {\mathcal{O}}_K$ であり、指数を $m=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ とすると $$\mathrm{disc}(1,\alpha ,{\alpha }^2)=\mathrm{disc}(f)=m^2{d}_K.$$ $m^2\mid 2^2\cdot 107$ より $m\in \{1,2\}$ である。

$\mathbb{Z}[\alpha ]$ に入らない整数の発見. $\gamma =\frac{{\alpha }^2+\alpha }{2}$ を考える。$\delta ={\alpha }^2+\alpha$ による乗法写像の、基底 $1,\alpha ,{\alpha }^2$ に関する表現行列を求める。${\alpha }^3=\alpha +4$, ${\alpha }^4={\alpha }^2+4\alpha$ を使うと
$$\delta \cdot 1=\alpha +{\alpha }^2,\delta \cdot \alpha ={\alpha }^2+{\alpha }^3=4+\alpha +{\alpha }^2,\delta \cdot {\alpha }^2={\alpha }^3+{\alpha }^4=4+5\alpha +{\alpha }^2$$
なので、表現行列は $$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 4\\ 1& 1& 5\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$
$\mathrm{tr}M=2$、主小行列式の和は $(0-4)+(0-4)+(1-5)=-12$、$\det M=0\cdot (1-5)-4\cdot (1-5)+4\cdot (1-1)=16$ であるから、$\delta$ の特性多項式は $$x^3-2x^2-12x-16.$$ $\gamma =\delta /2$ の特性多項式は、根を $1/2$ 倍して $$x^3-\frac{2}{2}{x}^2-\frac{12}{4}x-\frac{16}{8}=x^3-x^2-3x-2$$ となり、整数係数のモニック多項式である。よって $\gamma \in {\mathcal{O}}_K$ だが、$\gamma \notin \mathbb{Z}[\alpha ]$（$1,\alpha ,{\alpha }^2$ に関する係数 $0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}$ が整数でない）。したがって $m\ne 1$、すなわち $m=2$。

（別解: デデキントの判定法。$f\equiv x(x+1{)}^2(\mathrm{mod}2)$ で、$f-x(x+1{)}^2=-2(x^2+x+2)$ より $F=-(x^2+x+2)\equiv x(x+1)(\mathrm{mod}2)$ は重複因子 $x+1$ で割り切れるので、$2\mid m$。）

結論. $m=2$ より $$d_K=\frac{\mathrm{disc}(f)}{m^2}=\frac{-428}{4}=-107.$$ 実際、$\mathbb{Z}$ 加群 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha +\mathbb{Z}\gamma$ は $\mathbb{Z}[\alpha ]$ を指数 $2$ で含み、その判別式 $-107$ は平方因子をもたないので、これが ${\mathcal{O}}_K$ に一致する。

$f(x)=x^3-x-4$ の判別式は $-4p^3-27q^2$（$p=-1,q=-4$）より $4-27\cdot 16=-428=-4\cdot 107$。$107$ は素数なので $\mathrm{disc}(f)=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]{]}^2{d}_K$ から、指数は $1$ か $2$。

$f$ は $\mathbb{Q}$ 上既約（有理根の候補 $\pm 1,\pm 2,\pm 4$ は $f(1)=-4,f(-1)=-4,f(2)=2,f(-2)=-10,f(4)=56,f(-4)=-64$ で根でない）。

素数 $2$ での Dedekind の判定: $f\equiv x^3+x=x(x+1{)}^2(\mathrm{mod}2)$。$x=y+1$ とおくと $f=y^3+3y^2+2y-4$。$y^2(y+1)=y^3+y^2$ と取ると $f-(y^3+y^2)=2(y^2+y-2)$、よって $h=y^2+y-2\equiv y(y+1)(\mathrm{mod}2)$。重複因子 $y$ が $h$ を割り切るので $\mathbb{Z}[\alpha ]$ は $2$ で極大でない。ゆえに指数は $2$ であり、
$d_K=-428/4=-107$。

検算: $-107\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので判別式として矛盾しない（$-428$ は $\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ で、$-428/4=-107$ が基本判別式になる）。実際、整数環は $\mathbb{Z}[\alpha ]$ に $({\alpha }^2+\alpha )/2$ 型の元を添加したものになる。