代数的整数論の問題

既約性と実根の個数. 有理根の候補は $\pm 1,\pm 2,\pm 4$ である。$f(1)=-2,f(-1)=-4,f(2)=8,f(-2)=-8,f(4)=76,f(-4)=-52$ はどれも $0$ でないので、$f$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。よって $[K:\mathbb{Q}]=3$ である。

多項式の判別式. $x^3+a{x}^2+bx+c$ の判別式は
$$a^2{b}^2-4b^3-4a^{3}c-27c^2+18abc$$
である。$a=1,b=0,c=-4$ を代入すると
$$\mathrm{disc}(f)=0-0+16-27\cdot 16+0=-416=-2^5\cdot 13$$
となる。$\mathrm{disc}(f)<0$ なので実根はただ $1$ つであり、$\alpha$ は一意に定まる。

指数の候補. $\mathrm{disc}(f)=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]{]}^2{d}_K$ が成り立つ。$-416$ を割る平方数は $1,4,16$ だけなので、$[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]\in \{1,2,4\}$ である。

指数は偶数である. $\beta =\frac{{\alpha }^2+\alpha }{2}$ とおく。${\alpha }^3=4-{\alpha }^2$ を使うと、
$${\alpha }^4=\alpha \cdot {\alpha }^3=4\alpha -{\alpha }^3=-4+4\alpha +{\alpha }^2$$
である。$\delta ={\alpha }^2+\alpha$ による掛け算を基底 $1,\alpha ,{\alpha }^2$ で表すと、次のようになる。
$$\delta \cdot 1=\alpha +{\alpha }^2,\delta \cdot \alpha ={\alpha }^3+{\alpha }^2=4,\delta \cdot {\alpha }^2={\alpha }^4+{\alpha }^3=4\alpha .$$
よって表現行列は $M=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 0\\ 1& 0& 4\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ であり、その特性多項式は
$$\det (tI-M)=t\cdot t^2+4(-t-4)=t^3-4t-16$$
である。したがって ${\delta }^3-4\delta -16=0$ が成り立つ。$\delta =2\beta$ を代入して $8$ で割ると
$${\beta }^3-\beta -2=0$$
が得られる。ゆえに $\beta$ は代数的整数であり、$\beta \in {\mathcal{O}}_K$ である。一方 $\beta \notin \mathbb{Z}[\alpha ]$ である（$1,\alpha ,{\alpha }^2$ に関する係数 $\frac{1}{2}$ が整数でない）。よって指数は偶数であり、$[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]\in \{2,4\}$ となる。

（別解：Dedekind の判定法を使う。$f\equiv x^2(x+1)(\mathrm{mod}2)$ であり、$F=\frac{f-x^2(x+1)}{2}=-2\equiv 0(\mathrm{mod}2)$ は重複因子 $x$ で割り切れる。したがって $2\mid [{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ である。）

指数 $4$ の排除. 指数が $4$ だとすると $d_K=-416/16=-26\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ となる。これは Stickelberger の定理（$d_K\equiv 0,1(\mathrm{mod}4)$）に反する。

（別の確かめ方：$g(x)=x^3-x-2$ は $\beta$ の最小多項式で、$\mathrm{disc}(g)=-4(-1{)}^3-27\cdot 4=-104$ である。$g\equiv x(x+1{)}^2(\mathrm{mod}2)$ であり、$G=\frac{g-x(x+1{)}^2}{2}=-x^2-x-1$ は $x=1$ で $\mathrm{mod}2$ の値が $1$ なので、$x+1$ と互いに素である。Dedekind の判定法より $2\nmid [{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\beta ]]$ となる。また $13^2\nmid 104$ なので、${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\beta ]$ であり $d_K=-104$ となる。）

したがって $[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]=2$ であり、
$$d_K=\frac{-416}{2^2}=-104$$
である。答えは $(2,-104)$ である。

$f(x)=x^3+x^2-4$ は有理根の候補 $\pm 1,\pm 2,\pm 4$ のどれも根でないので、$\mathbb{Q}$ 上既約である。

3次多項式 $x^3+a{x}^2+bx+c$ の判別式は $a^2{b}^2-4b^3-4a^{3}c-27c^2+18abc$ である。$a=1,b=0,c=-4$ を代入すると
$\mathrm{disc}(f)=16-432=-416=-2^5\cdot 13$。

$\mathrm{disc}(f)=[{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]{]}^2{d}_K$ なので、指数の2乗は $416$ を割る。$2^5\cdot 13$ の約数となる平方数を考えると、指数は $1,2,4$ のいずれかである。13 は1乗でしか現れないので指数の素因数にならない。

2 が指数を割るかを Dedekind の判定法で調べる。$f\equiv x^2(x+1)(\mathrm{mod}2)$ である。$g=x(x+1)$、$h=x$ とおくと $gh=x^3+x^2$ で、$F=(f-gh)/2=-2\equiv 0(\mathrm{mod}2)$ となる。$\bar{F}=0$ は $\bar{g},\bar{h}$ の共通因子 $x$ で割れるので、$\mathbb{Z}[\alpha ]$ は 2 で極大でなく、指数は偶数である。

指数が 4 なら $d_K=-416/16=-26$ となる。しかし Stickelberger の定理より $d_K\equiv 0,1(\mathrm{mod}4)$ でなければならず、$-26\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので不適である。

よって指数は 2 で、$d_K=-416/4=-104$ である。$-104\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ なので Stickelberger の条件も満たす。

答え: $(2,-104)$