代数的整数論の問題

整数環と判別式. $-26$ は平方因子をもたず、$-26\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ である。平方因子をもたない整数 $m$ について、$m\equiv 2,3(\mathrm{mod}4)$ のとき ${\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}=\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$、判別式は $4m$ である。よって ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-26}]$ で、
$$d_K=\det {\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{-26}\\ 1& -\sqrt{-26}\end{array}\right)}^2=(-2\sqrt{-26}{)}^2=-104.$$

類数. 虚 2 次体 $K$ のイデアル類群は、判別式 $d_K$ の原始的な正定値 2 元 2 次形式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2$（$b^2-4ac=d_K$）の ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ 同値類全体と 1 対 1 に対応する。各同値類にはただ 1 つの簡約形式
$$|b|\le a\le c,|b|=a\text{ または }a=c\text{ のときは }b\ge 0$$
があるので、$h_K$ は判別式 $-104$ の原始的な簡約形式の個数に等しい。

$b^2-4ac=-104$ より $b$ は偶数、$ac=\frac{b^2+104}{4}$。また $3a^2\le 4ac-b^2=104$ から $a\le 5$、よって $|b|\le a\le 5$ で $b\in \{0,\pm 2,\pm 4\}$。
- $b=0$: $ac=26$, $a\le c$ より $(a,c)=(1,26),(2,13)$。形式 $(1,0,26)$, $(2,0,13)$。
- $b=\pm 2$: $ac=27$, $2\le a\le c$ より $(a,c)=(3,9)$。$|b|<a<c$ なので $(3,2,9)$ と $(3,-2,9)$ の両方が簡約。
- $b=\pm 4$: $ac=30$, $4\le a\le c$ より $(a,c)=(5,6)$。$(5,4,6)$ と $(5,-4,6)$ の両方が簡約。

これらはすべて原始的（係数の最大公約数が 1）である。したがって簡約形式は
$$(1,0,26),(2,0,13),(3,\pm 2,9),(5,\pm 4,6)$$
の 6 個で、$h_K=6$。

（参考: ミンコフスキー限界 $\frac{2}{\pi }\sqrt{104}\approx 6.49$ 以下のノルムをもつ素イデアル ${\mathfrak{p}}_2,{\mathfrak{p}}_3,{\mathfrak{p}}_5$ を調べても同じ結果が得られ、$\mathrm{Cl}(K)\cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ となる。）

よって $(d_K,h_K)=(-104,6)$。

$-26\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-26}]$、判別式 $d_K=4\cdot (-26)=-104$。

類数は判別式 $-104$ の原始的な正定値簡約二次形式 $(a,b,c)$（$b^2-4ac=-104,|b|\le a\le c$、$|b|=a$ または $a=c$ のときは $b\ge 0$）の個数に等しい。$b$ は偶数。
- $b=0$: $ac=26$ で $(1,0,26),(2,0,13)$。
- $b=\pm 2$: $ac=27$ で $a\ge 2,a\le c$ より $(3,\pm 2,9)$。
- $b=\pm 4$: $ac=30$ で $a\ge 4$ より $(5,\pm 4,6)$。
- $b=\pm 6$: $ac=35$ で $a\ge 6$, $a\le c$ となるものなし。$b=\pm 8$: $ac=42$ で $a\ge 8$ なし。$|b|\ge 10$ もなし（$a\le \sqrt{104/3}<6$）。

合計 $2+2+2=6$ 個。よって $h_K=6$。

答えは $(d_K,h_K)=(-104,6)$。