代数的整数論の問題

1. 類数と簡約形式の対応. $-71\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ で $71$ は素数なので、$K$ の判別式は $d_K=-71$。虚 2 次体の類数 $h_K$ は、判別式 $d_K$ をもつ正定値かつ原始的な 2 元 2 次形式の ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ 同値類の個数に等しい。各同値類には簡約形式がちょうど 1 つ含まれる。$d_K=-71$ は平方因子をもたないので、判別式 $-71$ の形式は自動的に原始的である（$\gcd (a,b,c)=g$ なら $g^2\mid 71$）。

2. 係数の範囲. 簡約形式では $b^2\le a^2\le ac$ なので
$$71=4ac-b^2\ge 4a^2-a^2=3a^2,a\le \sqrt{71/3}<\mathrm{4.9.}$$
よって $1\le a\le 4$。また $b^2\equiv -71\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ より $b$ は奇数で、$|b|\le a\le 4$ から $b\in \{\pm 1,\pm 3\}$。

3. 数え上げ. $ac=\frac{b^2+71}{4}$。

• $b=\pm 1$: $ac=18$。$a\le c$ かつ $1\le a\le 4$ なので $(a,c)=(1,18),(2,9),(3,6)$。
• $a=1$: $|b|=a$ なので $b=1$ のみ → $x^2+xy+18y^2$（$1$ 個）
• $a=2$: $2x^2\pm xy+9y^2$（$2$ 個）
• $a=3$: $3x^2\pm xy+6y^2$（$2$ 個）
• $b=\pm 3$: $ac=20$。$a\ge |b|=3$、$a\le c$、$a\le 4$ より $(a,c)=(4,5)$ → $4x^2\pm 3xy+5y^2$（$2$ 個）

いずれも $a\ne c$ で、$|b|=a$ となるのは $a=1$ の場合だけなので、上の符号の扱いで重複・漏れはない。

合計は $1+2+2+2=7$ 個。よって $h_K=7$ である。

$b^2-4ac=-71$ より $b$ は奇数。簡約条件 $|b|\le a\le c$ から $71=4ac-b^2\ge 4a^2-a^2=3a^2$ なので $a\le \sqrt{71/3}\approx 4.86$、すなわち $a\le 4$。各 $a$ について $4ac=b^2+71$ をみたす $c$ を調べる。\n\n- $a=1$: $b=\pm 1$。$4c=72$, $c=18$。$|b|=a$ なので $b\ge 0$ より $(1,1,18)$ の 1 個。\n- $a=2$: $b=\pm 1$。$8c=72$, $c=9$。$|b|<a<c$ なので $(2,1,9),(2,-1,9)$ の 2 個。\n- $a=3$: $b=\pm 1,\pm 3$。$b=\pm 1$: $12c=72$, $c=6$（$a<c$）で $(3,\pm 1,6)$ の 2 個。$b=\pm 3$: $12c=80$ で整数解なし。\n- $a=4$: $b=\pm 1,\pm 3$。$b=\pm 1$: $16c=72$ で整数解なし。$b=\pm 3$: $16c=80$, $c=5$（$a<c$, $|b|<a$）で $(4,\pm 3,5)$ の 2 個。\n\n合計 $1+2+2+2=7$ 個。$-71$ は基本判別式（$-71\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, 71 は素数）で、$\gcd (a,b,c)>1$ となる形式は存在しないのですべて原始形式。簡約形式は各類にちょうど 1 つ対応するので $h_K=7$。検算: $b^2-4ac$ を確かめると $1-72=-71$, $1-72=-71$, $1-72=-71$, $9-80=-71$ で整合する。また $h(-71)=7$ は既知の値と一致する。