代数的整数論の問題

方針. 各 $n$ について判別式 $D=-4n$ の原始的簡約形式を直接数え上げる。

(1) 係数の制約. $b^2-4ac=-4n$ より $b$ は偶数なので $b=2\beta$ とおくと
$$ac={\beta }^2+n.$$
簡約条件 $|b|\le a\le c$ から $4ac-b^2\ge 4a^2-a^2=3a^2$、すなわち $3a^2\le 4n$ であるから
$$a\le \sqrt{\frac{4n}{3}},|2\beta |\le a.$$
また $|b|=a$ または $a=c$ のときは $b\ge 0$ のものだけを数え、$\gcd (a,2\beta ,c)=1$ のものだけを数える。

(2) 数え上げ. 各 $n$ について、$\beta =0,\pm 1,\pm 2,\dots$ ごとに $ac={\beta }^2+n$ を $a\le c$、$2|\beta |\le a\le \sqrt{4n/3}$ で分解する（非原始的なものは除く）。

• $n=1$（$a\le 1$）: $(1,0,1)$。$h=1$
• $n=2$（$a\le 1$）: $(1,0,2)$。$h=1$
• $n=3$（$a\le 2$）: $(1,0,3)$。$\beta =\pm 1$ では $ac=4$ から $(2,2,2)$ が出るが非原始的。$h=1$
• $n=4$（$a\le 2$）: $(1,0,4)$。$(2,0,2)$ は非原始的、$\beta =\pm 1$ では $ac=5$ で $a=2$ は不可。$h=1$
• $n=5$（$a\le 2$）: $(1,0,5)$、$\beta =1$: $ac=6$ から $(2,2,3)$。$h=2$
• $n=6$（$a\le 2$）: $(1,0,6),(2,0,3)$。$\beta =\pm 1$: $ac=7$ は不可。$h=2$
• $n=7$（$a\le 3$）: $(1,0,7)$。$\beta =\pm 1$: $ac=8$ から $(2,2,4)$ は非原始的。$h=1$
• $n=8$（$a\le 3$）: $(1,0,8)$（$(2,0,4)$ は非原始的）。$\beta =\pm 1$: $ac=9$ から $a=c=3$ で $b\ge 0$ より $(3,2,3)$。$h=2$
• $n=9$（$a\le 3$）: $(1,0,9)$（$(3,0,3)$ は非原始的）。$\beta =1$: $ac=10$ から $(2,2,5)$。$h=2$
• $n=10$（$a\le 3$）: $(1,0,10),(2,0,5)$。$\beta =\pm 1$: $ac=11$ は不可。$h=2$
• $n=11$（$a\le 3$）: $(1,0,11)$。$\beta =\pm 1$: $ac=12$ から $(2,2,6)$ は非原始的、$(3,\pm 2,4)$ の $2$ 個。$h=3$
• $n=12$（$a\le 4$）: $(1,0,12),(3,0,4)$（$(2,0,6)$ は非原始的）。$\beta =\pm 1$: $ac=13$ は不可。$\beta =\pm 2$: $ac=16$ から $(4,4,4)$ は非原始的。$h=2$
• $n=13$（$a\le 4$）: $(1,0,13)$。$\beta =1$: $ac=14$ から $(2,2,7)$。$\beta =\pm 2$: $ac=17$ で $a=4$ は不可。$h=2$
• $n=14$（$a\le 4$）: $(1,0,14),(2,0,7)$。$\beta =\pm 1$: $ac=15$ から $(3,\pm 2,5)$ の $2$ 個。$\beta =\pm 2$: $ac=18$ で $a=4$ は不可。$h=4$
• $n=15$（$a\le 4$）: $(1,0,15),(3,0,5)$。$\beta =\pm 1$: $ac=16$ から $(2,2,8),(4,\pm 2,4)$ はいずれも非原始的（しかも $(4,-2,4)$ は $a=c$ より除外）。$\beta =\pm 2$: $ac=19$ は不可。$h=2$

(3) 和.
$$1+1+1+1+2+2+1+2+2+2+3+2+2+4+2=28.$$
よって求める値は $28$ である。

判別式 $D=-4n$ の原始的な正定値形式の簡約形の個数は、判別式 $D$ の（原始形式の）類数 $h(D)$ に等しい。各 $n$ について、基本判別式の類数と order の類数公式、または簡約形の直接列挙で値を求める。

非基本判別式の類数公式は
$$h(D{f}^2)=\frac{h(D)f}{[O_K^{\ast }:O^{\ast }]}\prod _{p\mid f}\left(1-\left(\frac{D}{p}\right)\frac{1}{p}\right)$$
である。

• $D=-4$: 1
• $D=-8$: 1
• $D=-12$: $f=2$, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$。$2\cdot \frac{3}{2}/3=1$ なので 1
• $D=-16$: $f=2$, $K=\mathbb{Q}(i)$。$2\cdot 1/2=1$ なので 1
• $D=-20$: 2
• $D=-24$: 2
• $D=-28$: $f=2$, $\left(\frac{-7}{2}\right)=1$。$2\cdot \frac{1}{2}=1$ なので 1
• $D=-32$: $f=2$, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$。$2\cdot 1=2$ なので 2
• $D=-36$: $f=3$, $K=\mathbb{Q}(i)$。$3\cdot \frac{4}{3}/2=2$ なので 2
• $D=-40$: 2
• $D=-44$: $f=2$, $\left(\frac{-11}{2}\right)=-1$。$2\cdot \frac{3}{2}=3$ なので 3
• $D=-48$: $f=4$, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$。$4\cdot \frac{3}{2}/3=2$ なので 2
• $D=-52$: 2
• $D=-56$: 4
• $D=-60$: $f=2$, $h(-15)=2$, $\left(\frac{-15}{2}\right)=1$。$2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=2$ なので 2

合計は $1+1+1+1+2+2+1+2+2+2+3+2+2+4+2=28$。