代数的整数論の問題

判別式. $-21\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-21}]$ であり、$d_K=4\cdot (-21)=-84$。

$a$ と $b$ の範囲. 判別式 $b^2-4ac=-84$ の簡約形式では $|b|\le a\le c$ より $$84=4ac-b^2\ge 4a^2-a^2=3a^2$$ なので $a^2\le 28$、すなわち $1\le a\le 5$。また $b^2\equiv -84\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ より $b$ は偶数で、$|b|\le a\le 5$ から $b\in \{0,\pm 2,\pm 4\}$。各 $b$ について $ac=\frac{b^2+84}{4}$ である。

• $b=0$: $ac=21$。$a\le c$ をみたすのは $(a,c)=(1,21),(3,7)$。形式 $(1,0,21)$, $(3,0,7)$。
• $b=\pm 2$: $ac=22$。$a\ge |b|=2$ かつ $a\le c$ より $(a,c)=(2,11)$。$|b|=a$ なので $b\ge 0$ を要し、$(2,2,11)$ のみ。
• $b=\pm 4$: $ac=25$。$a\ge 4$ かつ $a\le c$ より $(a,c)=(5,5)$。$a=c$ なので $b\ge 0$ を要し、$(5,4,5)$ のみ。

いずれも $\gcd (a,b,c)=1$ で原始的である。よって簡約形式は $$x^2+21y^2,3x^2+7y^2,2x^2+2xy+11y^2,5x^2+4xy+5y^2$$ の $4$ 個で、$$h_K=4.$$
（参考: これらはすべて位数 $1$ または $2$ の類に対応し、類群は $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2$ である。）

$-21\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-21}]$、判別式は $d_K=-84$。簡約形式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2$ で $b^2-4ac=-84$ をみたすものを数える。$b^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ より $b$ は偶数で、$b=2b^{\prime }$ とおくと $ac=21+b^{\prime 2}$。簡約条件より $3a^2\le 4ac-b^2=84$ なので $a\le 5$。\n\n- $b^{\prime }=0$: $ac=21$, $a\le c$ より $(a,c)=(1,21),(3,7)$。形式 $(1,0,21),(3,0,7)$。\n- $|b^{\prime }|=1$ ($|b|=2$): $ac=22$, $a\ge |b|=2$, $a\le c$ より $(a,c)=(2,11)$。このとき $|b|=a$ なので $b\ge 0$ より $b=2$。形式 $(2,2,11)$。\n- $|b^{\prime }|=2$ ($|b|=4$): $ac=25$, $a\ge 4$, $a\le c$ より $a=c=5$。$a=c$ なので $b\ge 0$ より $b=4$。形式 $(5,4,5)$。\n- $|b^{\prime }|\ge 3$ ($|b|\ge 6$): $a\ge 6$ となり $a\le 5$ に反する。\n\nいずれも $\gcd (a,b,c)=1$。よって簡約形式は $(1,0,21),(3,0,7),(2,2,11),(5,4,5)$ の 4 個。検算: 判別式はそれぞれ $-84,-84,4-88=-84,16-100=-84$ で一致。したがって $h_K=4$（類群は $(\mathbb{Z}/2{)}^2$）。