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代数的整数論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学代数的整数論

整数係数の 2 元 2 次形式 $f (x, y) = a x^{2} + b x y + c y^{2}$ が、判別式 $b^{2} - 4 a c = - 116$ 、 $a > 0$ 、 $g cd (a, b, c) = 1$ をみたし、さらに
$∣ b ∣ \leq a \leq c, (∣ b ∣ = a または a = c のときは b \geq 0)$
をみたすとき、 $f$ を判別式 $- 116$ の簡約された原始正定値形式とよぶ。このような $(a, b, c)$ の個数（すなわち類数 $h (- 116)$ ）を求めよ。

この問題で使うもの

簡約 2 次形式による類数の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

簡約条件から $a$ の上界を出し、 $b$ と $a$ の候補を有限個に絞って数え上げる。

ヒント 2

$∣ b ∣ \leq a \leq c$ から $3 a^{2} \leq 116$ 。また $b^{2} - 4 a c = - 116$ より $b$ は偶数で $a c = (b^{2} + 116) /4$ 。

ヒント 3

$b = 0$ のとき $a c = 29$ 、 $b = \pm 2$ のとき $a c = 30$ 、 $b = \pm 4$ のとき $a c = 33$ 、 $b = \pm 6$ のとき $a c = 38$ 。それぞれで $∣ b ∣ \leq a \leq c$ , $a \leq 6$ と境界の条件を確かめる。

答えと解説

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6

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解説を読む

$a$ の範囲. $∣ b ∣ \leq a \leq c$ より $4 a^{2} \leq 4 a c = b^{2} + 116 \leq a^{2} + 116$ なので $3 a^{2} \leq 116$ 、 $a \leq 6$ （ $116/3 \approx 6.2$ ）。

$b$ の偶奇. $b^{2} \equiv - 116 \equiv 0 (mod 4)$ より $b$ は偶数。 $∣ b ∣ \leq a \leq 6$ なので $b \in {0, \pm 2, \pm 4, \pm 6}$ 。 $a c = \frac{b ^{2} + 116}{4}$ である。

$b = 0$ : $a c = 29$ 。 $a \leq c$ より $(a, c) = (1, 29)$ 。 $\to (1, 0, 29)$ 。
$b = \pm 2$ : $a c = 30$ 。 $2 \leq a \leq c$ かつ $a \leq 6$ より $(a, c) = (2, 15), (3, 10), (5, 6)$ 。
$(2, \pm 2, 15)$ : $∣ b ∣ = a$ なので $b \geq 0$ のみ $\to (2, 2, 15)$ 。
$(3, \pm 2, 10)$ : 条件の等号は成り立たないので $b = \pm 2$ の両方 $\to 2$ 個。
$(5, \pm 2, 6)$ : 同様に $2$ 個。
$b = \pm 4$ : $a c = 33$ 。 $4 \leq a \leq 6$ で $33$ の約数になるものはない。 $\to 0$ 個。
$b = \pm 6$ : $a c = 38$ 。 $a = 6$ は $38$ を割らない。 $\to 0$ 個。

原始性. $(1, 0, 29), (2, 2, 15), (3, \pm 2, 10), (5, \pm 2, 6)$ はいずれも $g cd (a, b, c) = 1$ をみたす。

よって簡約された原始正定値形式は
$(1, 0, 29), (2, 2, 15), (3, 2, 10), (3, - 2, 10), (5, 2, 6), (5, - 2, 6)$
の $6$ 個で、 $h (- 116) = 6$ 。（ $- 116$ は $Q (- 29)$ の判別式なので、これは $Q (- 29)$ の類数でもある。）

答え: $6$

別解

$b^{2} - 4 a c = - 116$ より $b$ は偶数。 $b = 2 k$ とおくと $a c = k^{2} + 29$ 。簡約条件 $∣ b ∣ \leq a \leq c$ より $3 a^{2} \leq 4 a c - b^{2} = 116$ 、よって $a \leq 6$ 。

$a = 1$ ： $b = 0$ 、 $a c = 29$ 、 $c = 29$ 。 $(1, 0, 29)$ 。
$a = 2$ ： $b \in {0, 2}$ （ $∣ b ∣ = a$ のとき $b \geq 0$ ）。 $b = 0$ ： $a c = 29$ は $2 ∤ 29$ で不可。 $b = 2$ ： $a c = 30$ 、 $c = 15$ 。 $(2, 2, 15)$ 。
$a = 3$ ： $b \in {- 2, 0, 2}$ 。 $b = 0$ ： $3 ∤ 29$ で不可。 $b = \pm 2$ ： $a c = 30$ 、 $c = 10$ 。 $(3, \pm 2, 10)$ （ $a < c$ なので両方）。
$a = 4$ ： $b \in {- 2, 0, 2, 4}$ 。 $b = 0$ ： $a c = 29$ 不可。 $b = \pm 2$ ： $a c = 30$ 、 $4 ∤ 30$ 不可。 $b = 4$ ： $a c = 33$ 、 $4 ∤ 33$ 不可。
$a = 5$ ： $b \in {- 4, - 2, 0, 2, 4}$ 。 $b = 0$ ：不可。 $b = \pm 2$ ： $a c = 30$ 、 $c = 6$ 。 $(5, \pm 2, 6)$ 。 $b = \pm 4$ ： $a c = 33$ 、 $5 ∤ 33$ 不可。
$a = 6$ ： $b = 0$ ：不可。 $b = \pm 2$ ： $a c = 30$ 、 $c = 5 < a$ 不可。 $b = \pm 4$ ： $a c = 33$ 不可。 $b = 6$ ： $a c = 38$ 、 $6 ∤ 38$ 不可。

いずれも $g cd (a, b, c) = 1$ をみたす。該当は $(1, 0, 29), (2, 2, 15), (3, 2, 10), (3, - 2, 10), (5, 2, 6), (5, - 2, 6)$ の $6$ 個。

検算： $Q (- 29)$ の類数は $6$ で、判別式 $- 116$ は基本判別式なので $h (- 116) = 6$ と一致する。

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