代数的整数論の問題

整数係数の 2 元 2 次形式 $g(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ を、係数の組 $(a,b,c)$ で表す。$g$ が原始的であるとは $\gcd (a,b,c)=1$ であることをいう。$g$ が簡約であるとは、$a>0$ かつ
$$|b|\le a\le c,(|b|=a\text{ または }a=c\text{ のときは }b\ge 0)$$
をみたすことをいう。負の整数 $D$ に対し、判別式 $b^2-4ac=D$ をもつ原始的な簡約形式 $(a,b,c)$ の個数を $h(D)$ と書く。

$h(-3n^2)=6$ をみたす正の整数 $n$ をすべて求めよ。

整数係数の 2 元 2 次形式 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ が、判別式 $b^2-4ac=-116$、$a>0$、$\gcd (a,b,c)=1$ をみたし、さらに
$$|b|\le a\le c,(|b|=a\text{ または }a=c\text{ のときは }b\ge 0)$$
をみたすとき、$f$ を判別式 $-116$ の簡約された原始正定値形式とよぶ。このような $(a,b,c)$ の個数（すなわち類数 $h(-116)$）を求めよ。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-21})$ とし、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。$K$ の類数 $h_K$（${\mathcal{O}}_K$ のイデアル類群の位数）を求めよ。ただし、$h_K$ は判別式 $d_K$ の原始的（$\gcd (a,b,c)=1$）な正定値の整数係数 2 元 2 次形式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2$（$a>0$）のうち、簡約なもの、すなわち $$|b|\le a\le c,|b|=a\text{ または }a=c\text{ のときは }b\ge 0$$ をみたすものの個数に等しいことを用いてよい。

整数係数の 2 元 2 次形式 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ を $(a,b,c)$ と書き、その判別式を $b^2-4ac$ とする。$(a,b,c)$ が原始的であるとは $\gcd (a,b,c)=1$ であること、正定値であるとは判別式が負かつ $a>0$ であることとする。正定値形式 $(a,b,c)$ が簡約であるとは
$$|b|\le a\le c,\text{かつ}(|b|=a\text{または}a=c\text{ならば}b\ge 0)$$
が成り立つことと定める。正の整数 $n$ に対し、判別式 $-4n$ の原始的正定値形式の ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ による同値類の個数を $h(-4n)$ とする。

次の事実は証明なしに用いてよい：$h(-4n)$ は、判別式 $-4n$ の原始的な簡約形式の個数に等しい。

$p$ を奇素数とする。$h(-4p)$ が偶数であるための必要十分条件は $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ であることを証明せよ。

整数係数の 2 元 2 次形式 $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ が簡約であるとは、$|b|\le a\le c$ をみたし、さらに $|b|=a$ または $a=c$ のときは $b\ge 0$ であることとする。判別式 $b^2-4ac=-71$ をもつ正定値の簡約 2 次形式の個数を数えることにより、虚 2 次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-71})$ の類数 $h_K$（整数環 ${\mathcal{O}}_K$ のイデアル類群の位数）を求めよ。