代数的整数論の問題

1. 形式と整環の類数の対応. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ とすると、判別式は $d_K=-3$ で、${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\omega ]$（$\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$）である。導手 $n$ の整環を ${\mathcal{O}}_n=\mathbb{Z}+n{\mathcal{O}}_K$ とおくと、その判別式は $-3n^2$ である。

判別式 $-3n^2$ の原始的正定値 2 次形式の ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ 同値類は、${\mathcal{O}}_n$ の可逆イデアル類群 $\mathrm{Pic}({\mathcal{O}}_n)$ の元と 1 対 1 に対応する。また各同値類には簡約形式がちょうど 1 つ含まれる。したがって $h(-3n^2)=\#\mathrm{Pic}({\mathcal{O}}_n)$ である。

2. 整環の類数公式. 一般に次が成り立つ。
$$h({\mathcal{O}}_n)=\frac{h({\mathcal{O}}_K)n}{[{\mathcal{O}}_K^{\times }:{\mathcal{O}}_n^{\times }]}\prod _{p\mid n}(1-(\frac{d_K}{p}\left)\frac{1}{p}\right)$$
ここで $h({\mathcal{O}}_K)=h(-3)=1$ である。${\mathcal{O}}_K^{\times }=\{\pm 1,\pm \omega ,\pm {\omega }^2\}$ は位数 $6$ である。$n\ge 2$ のとき $\pm \omega ,\pm {\omega }^2\notin \mathbb{Z}+n{\mathcal{O}}_K$ なので ${\mathcal{O}}_n^{\times }=\{\pm 1\}$ となり、指数は $3$ である。$n=1$ のときは $h=1$ で、条件をみたさない。

よって $n=\prod p^{e_p}(n\ge 2)$ に対し
$$h(-3n^2)=\frac{1}{3}\prod _{p\mid n}{c}_p,c_p=p^{e_p-1}(p-(\frac{-3}{p}\left)\right)$$
となる。Kronecker 記号の値は次のとおりである。
- $p=2$ のとき、$-3\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ より $-1$。
- $p=3$ のとき $0$。
- $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ のとき $1$、$p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ のとき $-1$。

これより各 $c_p$ は次のようになる。
- $c_2=3\cdot 2^{e-1}=3,6,12,\dots$
- $c_3=3^e=3,9,\dots$
- $c_5=6\cdot 5^{e-1}$、$c_7=6\cdot 7^{e-1}$
- $c_{11}=c_{13}=12$、$c_{17}=c_{19}=18$（いずれも $e=1$ のとき）
- $p\ge 23$ では $c_p\ge p-1\ge 22$

どの $p$ でも $c_p\ge 3$ である。

3. $\prod c_p=18$ となる場合の列挙. $h=6$ は ${\prod }_{p\mid n}{c}_p=18$ と同値である。各 $c_p\ge 3$ で $3^3=27>18$ なので、因子の個数は 1 個か 2 個である。また $p\ge 23$ は $c_p>18$ なので現れない。

• 1 個のとき: $c_p=18$ となるのは $p^e=17,19$ である（$c_2,c_3$ は $18$ にならず、$5^2,7^2,11^2,13^2$ は大きすぎる）。よって $n=17,19$。
• 2 個のとき: $18=3\cdot 6$ である（$9\cdot 2$ は $c_p=2$ となる $p$ が存在しないので不可）。$c_p=3$ となるのは $2^1,3^1$、$c_p=6$ となるのは $2^2,5,7$ である。異なる素数の組を選ぶと、$2\cdot 5=10$、$2\cdot 7=14$、$3\cdot 4=12$、$3\cdot 5=15$、$3\cdot 7=21$ となる（$2^1$ と $2^2$ の組は同じ素数なので不可）。

4. 検算. 公式で確かめると、たとえば次のとおり $6$ になる。
- $h(-300)=\frac{10}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{6}{5}=6$
- $h(-1323)=\frac{21}{3}\cdot 1\cdot \frac{6}{7}=6$

直接の数え上げでも確かめる。$D=-300$ の簡約形式では $3a^2\le 4ac-b^2=300$ より $a\le 10$ であり、原始的なものは
$$(1,0,75),(3,0,25),(4,\pm 2,19),(7,\pm 6,12)$$
の $6$ 個である。$(2,2,38),(5,0,15),(6,6,14),(10,10,10)$ は原始的でない。

したがって答えは $n\in \{10,12,14,15,17,19,21\}$ である。

原始的な簡約形式の個数 $h(D)$ は、判別式 $D$ の順序の類数に等しい。$D=-3n^2$ は基本判別式 $D_0=-3$ に導手 $n$ を掛けたものである。$n>1$ のとき、類数公式により次が成り立つ。
$$h(-3n^2)=\frac{h(-3)n}{[{\mathcal{O}}^{\ast }:{\mathcal{O}}_n^{\ast }]}\prod _{p\mid n}(1-\frac{\chi (p)}{p})=\frac{n}{3}\prod _{p\mid n}(1-\frac{\chi (p)}{p}).$$
ここで $\chi (p)=\left(\frac{-3}{p}\right)$ である。$h(-3)=1$ であり、単数群の指数は $6/2=3$ である。$n=\prod p^k$ と素因数分解すると
$$h=\frac{1}{3}\prod p^{k-1}(p-\chi (p))$$
となる。

これが 6 になる条件は $\prod p^{k-1}(p-\chi (p))=18$ である。$n=1$ のときは $h(-3)=1$ なので不適。

$\chi (2)=-1$、$\chi (3)=0$、$p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なら $\chi (p)=1$、$p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ なら $\chi (p)=-1$ である。各素数べきの因子 $f(p^k)=p^{k-1}(p-\chi (p))$ のうち 18 の約数になるものは次のとおり。
- $2$: $3$（$k=1$）、$6$（$k=2$）
- $3$: $3$（$k=1$）、$9$（$k=2$）
- $5,7$: $6$
- $17,19$: $18$

ほかの素数や指数では 18 の約数にならない。たとえば $p-\chi (p)=2$ や $9$ となる素数はない。

積が 18 になる組合せは次のとおり。
- $18$ 単独: $n=17,19$
- $3\times 6$（3 は $p=2$ または $p=3$ から、6 は $p=5,7$ または $2^2$ から。ただし同じ素数は使えない）: $n=2\cdot 5=10$、$2\cdot 7=14$、$3\cdot 5=15$、$3\cdot 7=21$、$3\cdot 4=12$
- $2\times 9$: 因子 2 がないので不可
- $3\times 3\times 2$: 因子 2 がないので不可

検算: $n=12$ のとき $\frac{12}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot 1=6$。$n=10$ のとき $\frac{10}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{6}{5}=6$。$n=15$ のとき $\frac{15}{3}\cdot 1\cdot \frac{6}{5}=6$。いずれも 6 になる。

よって $n=10,12,14,15,17,19,21$。