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代数的整数論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学代数的整数論

整数係数の 2 元 2 次形式 $f (x, y) = a x^{2} + b x y + c y^{2}$ を $(a, b, c)$ と書き、その判別式を $b^{2} - 4 a c$ とする。 $(a, b, c)$ が原始的であるとは $g cd (a, b, c) = 1$ であること、正定値であるとは判別式が負かつ $a > 0$ であることとする。正定値形式 $(a, b, c)$ が簡約であるとは
$∣ b ∣ \leq a \leq c, かつ (∣ b ∣ = a または a = c ならば b \geq 0)$
が成り立つことと定める。正の整数 $n$ に対し、判別式 $- 4 n$ の原始的正定値形式の $SL_{2} (Z)$ による同値類の個数を $h (- 4 n)$ とする。

次の事実は証明なしに用いてよい： $h (- 4 n)$ は、判別式 $- 4 n$ の原始的な簡約形式の個数に等しい。

$p$ を奇素数とする。 $h (- 4 p)$ が偶数であるための必要十分条件は $p \equiv 1 (mod 4)$ であることを証明せよ。

この問題で使うもの

簡約 2 次形式による類数の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$h (- 4 p)$ を簡約形式の個数として数え、偶奇だけを調べます。 $b$ の符号を反転する操作 $(a, b, c) \mapsto (a, - b, c)$ で簡約形式を対にすることを考えましょう。

ヒント 2

$0 < ∣ b ∣ < a < c$ の簡約形式は $(a, b, c)$ と $(a, - b, c)$ が対になります。対にならないのは $b = 0$ 、 $b = a$ 、 $a = c$ のどれかを満たす簡約形式なので、 $h (- 4 p)$ の偶奇はその個数の偶奇と一致します。

ヒント 3

$b = 0$ なら $a c = p$ 、 $b = a$ なら $a = 2 a^{'}$ として $a^{'} (2 c - a^{'}) = p$ 、 $a = c$ なら $b = 2 b^{'}$ として $(a - b^{'}) (a + b^{'}) = p$ になります。それぞれ $p$ が素数であることから候補を絞り、簡約性と原始性を確かめましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

簡約形式を「 $b = 0$ , $b = a$ , $a = c$ のどれかを満たすもの」と「 $0 < ∣ b ∣ < a < c$ のもの」に分け、後者で $b < 0$ の簡約形式に追加条件があることも踏まえて漏れなく分割している（2 点）
$(a, b, c) \mapsto (a, - b, c)$ が $b > 0$ 側と $b < 0$ 側の全単射であることを、判別式・原始性・簡約性が保たれることから示し、 $h (- 4 p) \equiv ∣ R_{0} ∣ (mod 2)$ を導いている（2 点）
$b = 0$ の場合に $(1, 0, p)$ だけが得られること、 $a = c$ の場合に原始的な簡約形式がないことを示している（2 点）
$b = a$ の場合に $a$ が偶数であることから $a^{'} (2 c - a^{'}) = p$ を導き、 $(2, 2, \frac{p + 1}{2})$ だけが候補で、それが原始的であることが $p \equiv 1 (mod 4)$ と同値であることを示している（3 点）
$∣ R_{0} ∣$ の値から両方向（ $p \equiv 1$ なら偶数、 $p \equiv 3$ なら奇数）を結論している（1 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$R$ を判別式 $- 4 p$ の原始的な簡約形式全体の集合とする。用いてよい事実より $h (- 4 p) = ∣ R ∣$ である。

ステップ 1: $R$ の分割。
$R$ を次の 3 つの部分集合に分ける。
- $R_{0}$ ： $b = 0$ または $b = a$ または $a = c$ を満たすもの
- $R_{+}$ ： $0 < b < a < c$ を満たすもの
- $R_{-}$ ： $- a < b < 0$ かつ $a < c$ を満たすもの

$(a, b, c) \in R$ を任意にとる。 $R_{0}$ に属さないとすると $b \neq = 0$ , $b \neq = a$ , $a \neq = c$ である。 $b > 0$ なら、 $∣ b ∣ \leq a$ と $b \neq = a$ から $b < a$ 、 $a \leq c$ と $a \neq = c$ から $a < c$ なので $(a, b, c) \in R_{+}$ である。 $b < 0$ なら、簡約の定義の後半より $∣ b ∣ = a$ も $a = c$ も起こらないので、 $∣ b ∣ < a$ かつ $a < c$ 、すなわち $(a, b, c) \in R_{-}$ である。また 3 つの集合は $b$ の条件から互いに交わらない（ $R_{+}$ と $R_{-}$ の元は $b \neq = 0$ , $b \neq = a$ , $a \neq = c$ を満たす）。よって $R = R_{0} ⊔ R_{+} ⊔ R_{-}$ である。

ステップ 2: $∣ R_{+} ∣ = ∣ R_{-} ∣$ 。
写像 $φ (a, b, c) = (a, - b, c)$ を考える。判別式 $b^{2} - 4 a c$ と $g cd (a, b, c)$ は $b$ を $- b$ に変えても変わらず、 $a > 0$ も保たれる。 $(a, b, c) \in R_{+}$ なら $(a, - b, c)$ は $- a < - b < 0$ , $a < c$ を満たし、 $∣ - b ∣ < a < c$ なので簡約であり、 $R_{-}$ に属する。逆に $(a, b, c) \in R_{-}$ なら $(a, - b, c)$ は $0 < - b < a < c$ を満たすので簡約で、 $R_{+}$ に属する。 $φ \circ φ$ は恒等写像なので、 $φ$ は $R_{+}$ と $R_{-}$ の間の全単射である。よって
$h (- 4 p) = ∣ R_{0} ∣ + 2∣ R_{+} ∣ \equiv ∣ R_{0} ∣ (mod 2) (1)$
である。

ステップ 3: $R_{0}$ の元の決定。
$(a, b, c) \in R_{0}$ とし、 $b^{2} - 4 a c = - 4 p$ とする。

(i) $b = 0$ のとき： $a c = p$ で $1 \leq a \leq c$ なので $(a, c) = (1, p)$ である。 $(1, 0, p)$ は $g cd = 1$ 、 $0 \leq 1 \leq p$ で $b = 0 \geq 0$ なので $R$ に属する。

(ii) $b = a$ のとき： $a^{2} - 4 a c = - 4 p$ より $a^{2} = 4 (a c - p)$ は $4$ の倍数なので $a$ は偶数であり、 $a = 2 a^{'}$ （ $a^{'} \geq 1$ ）とおくと $4 a^{'2} - 8 a^{'} c = - 4 p$ 、すなわち
$a^{'} (2 c - a^{'}) = p$
である。 $p$ は素数で $a^{'} \geq 1$ なので $a^{'} = 1$ または $a^{'} = p$ である。
- $a^{'} = p$ なら $2 c - p = 1$ より $c = \frac{p + 1}{2}$ 、 $a = 2 p$ であるが、 $2 p > \frac{p + 1}{2}$ なので $a \leq c$ に反し、簡約でない。
- $a^{'} = 1$ なら $c = \frac{p + 1}{2}$ で、形式は $(2, 2, \frac{p + 1}{2})$ である。 $p \geq 3$ より $c \geq 2$ なので $∣ b ∣ = 2 \leq a = 2 \leq c$ で、 $b = 2 \geq 0$ だから簡約である。 $g cd (2, 2, c) = g cd (2, c)$ なので、原始的であることは $c = \frac{p + 1}{2}$ が奇数であること、すなわち $p + 1 \equiv 2 (mod 4)$ 、つまり $p \equiv 1 (mod 4)$ と同値である。

(iii) $a = c$ のとき：簡約なので $0 \leq b \leq a$ である。 $b^{2} - 4 a^{2} = - 4 p$ より $b^{2}$ は $4$ の倍数なので $b$ は偶数であり、 $b = 2 b^{'}$ （ $0 \leq b^{'}$ ）とおくと $a^{2} - b^{'2} = p$ 、すなわち $(a - b^{'}) (a + b^{'}) = p$ である。 $a + b^{'} \geq a - b^{'}$ で積が正なので両方正であり、 $p$ が素数なので $a - b^{'} = 1$ , $a + b^{'} = p$ 、よって $a = \frac{p + 1}{2}$ , $b = p - 1$ である。簡約の条件 $b \leq a$ は $p - 1 \leq \frac{p + 1}{2}$ 、すなわち $p \leq 3$ と同値なので、 $p \geq 5$ ではこの場合の形式は存在しない。 $p = 3$ のときは $(2, 2, 2)$ となるが $g cd = 2$ なので原始的でない。いずれにせよ、(iii) から得られる $R$ の元はない。

(i), (ii) で得た形式 $(1, 0, p)$ と $(2, 2, \frac{p + 1}{2})$ は $a$ の値が異なるので相異なる。以上より
$∣ R_{0} ∣ = {21 (p \equiv 1 (mod 4)) (p \equiv 3 (mod 4))$
である（ $p$ は奇数なので、 $p \equiv 1$ か $p \equiv 3 (mod 4)$ のどちらかである）。

ステップ 4: 結論。
$(1)$ より、 $p \equiv 1 (mod 4)$ なら $h (- 4 p) \equiv 2 \equiv 0 (mod 2)$ で偶数、 $p \equiv 3 (mod 4)$ なら $h (- 4 p) \equiv 1 (mod 2)$ で奇数である。

したがって、奇素数 $p$ について、 $h (- 4 p)$ が偶数であるための必要十分条件は $p \equiv 1 (mod 4)$ である。 $■$

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