簡約 2 次形式による類数の計算

判別式 $D < 0$ の正定値原始的 2 元 2 次形式 $a x^{2} + b x y + c y^{2}$ （ $b^{2} - 4 a c = D$ ）の簡約条件 $∣ b ∣ \leq a \leq c$ （ $∣ b ∣ = a$ または $a = c$ なら $b \geq 0$ ）と $a \leq ∣ D ∣/3$ を使って簡約形式をすべて挙げ、その個数として虚 2 次体の類数 $h (D)$ を求められる（例: $h (- 23) = 3$ 、 $h (- 56) = 4$ 、 $h (- 104) = 6$ ）

前提

2 次体の整数環と判別式（大学院数学代数的整数論）

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算数中学高校大学大学院

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2 次体の整数環と判別式（大学院数学代数的整数論）

説明

判別式 $D < 0$ の正定値原始的 2 元 2 次形式 $a x^{2} + b x y + c y^{2}$ の同値類の個数 $h (D)$ を、各類の代表である「簡約形式」を書き出して数えることで求めます。 $D$ が虚 2 次体 $Q (d)$ の判別式のとき、この $h (D)$ はその体の類数と一致することが知られているので、虚 2 次体の類数を合同式と簡単な不等式だけで計算できます。簡約条件を満たす整数の組 $(a, b, c)$ は有限個の候補から漏れなく拾えるのが利点です。

なぜそうしてよいのか

記号を定めます。整数 $a, b, c$ による $f (x, y) = a x^{2} + b x y + c y^{2}$ を $(a, b, c)$ と書き、 $D = b^{2} - 4 a c$ をその判別式と呼びます。 $D < 0$ かつ $a > 0$ のとき、平方完成 $4 a f = (2 a x + b y)^{2} - D y^{2}$ からわかるように $(x, y) \neq = (0, 0)$ で $f > 0$ となり、これを正定値といいます。 $g cd (a, b, c) = 1$ のとき原始的といいます。行列式 $1$ の整数行列 $(p r q s)$ で変数を $x \mapsto p x + q y, y \mapsto r x + sy$ と置き換えて移り合う 2 つの形式を同値といいます。置き換えは逆行列も整数行列なので元に戻せ、判別式も原始性も正定値性も変わりません。また $b^{2} \equiv D (mod 4)$ なので、 $b \equiv D (mod 2)$ が必ず成り立ちます。

そこで、判別式 $D$ の正定値原始的形式の同値類の個数を $h (D)$ と定めます。 $D$ が虚 2 次体 $Q (d)$ （ $d < 0$ は平方因子をもたない）の判別式（ $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $d$ 、 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $4 d$ ）のとき、 $h (D)$ はその体の類数と一致することが知られています（ここではこの事実を引用し、以下では形式の同値類を数えることだけを考えます）。

では同値類をどう数えるか。同値類の中で $a$ が最小のものを選びます（正定値なので $a = f (1, 0)$ は正の整数で、最小のものがあります）。置き換え $x \mapsto x + k y$ で $(a, b, c)$ は $(a, b + 2 ak, \cdot)$ に変わるので、 $b$ を $2 a$ の倍数だけずらして $- a < b \leq a$ にできます。さらに置き換え $(x, y) \mapsto (- y, x)$ で $(a, b, c)$ は $(c, - b, a)$ に変わるので、 $a$ の最小性から $a \leq c$ です。境界では $(a, - a, c)$ と $(a, a, c)$ （前者の置き換え）、 $(a, b, a)$ と $(a, - b, a)$ （後者の置き換え）がそれぞれ同値なので、 $b \geq 0$ のほうを代表に選びます。こうして各類に条件「 $∣ b ∣ \leq a \leq c$ 、かつ $∣ b ∣ = a$ または $a = c$ なら $b \geq 0$ 」を満たす形式（簡約形式）が少なくとも 1 つあります。逆に、異なる簡約形式どうしは同値でない（各類の簡約形式はちょうど 1 つ）ことが知られており、これも引用します。最後に、この条件から $∣ D ∣ = 4 a c - b^{2} \geq 4 a \cdot a - a^{2} = 3 a^{2}$ となるので $a \leq ∣ D ∣/3$ です。 $a$ が有限個に絞られ、各 $a$ に対して $b$ も $∣ b ∣ \leq a$ で有限個、 $c = \frac{b ^{2} - D}{4 a}$ は自動的に決まるため、すべての簡約形式を手で書き出せます。

なお、 $D$ が虚 2 次体の判別式なら簡約形式は自動的に原始的です。 $g = g cd (a, b, c) > 1$ なら $g^{2} ∣ D$ ですが、 $D = d$ （ $d$ は平方因子なし）なら $g^{2} ∣ d$ は起こらず、 $D = 4 d$ なら $g = 2$ しかありえず、そのとき $\frac{D}{4} = d = (\frac{b}{2})^{2} - 4 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{c}{2}$ は $4$ で割った余りが $0$ か $1$ になるはずなのに、 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ と矛盾するからです。

手順

判別式 $D$ を確定する。体 $Q (d)$ が与えられたら $d \equiv 1 (mod 4)$ なら $D = d$ 、 $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $D = 4 d$ とする
$a$ の範囲を決める: $1 \leq a \leq ∣ D ∣/3$ 。また $b \equiv D (mod 2)$ なので、 $D$ が奇数なら $b$ は奇数、偶数なら $b$ は偶数
各 $a$ について $∣ b ∣ \leq a$ かつ偶奇条件を満たす $b$ を並べ、 $c = \frac{b ^{2} - D}{4 a} = \frac{b ^{2} + ∣ D ∣}{4 a}$ が整数になるものを残す
簡約条件をチェックする: $a \leq c$ であること、 $∣ b ∣ = a$ または $a = c$ のときは $b \geq 0$ のものだけを残すこと（ $b \neq = 0$ で $∣ b ∣ < a < c$ なら $(a, b, c)$ と $(a, - b, c)$ を別々に数える）
原始性 $g cd (a, b, c) = 1$ を確かめ、原始的でないものを除く（ $D$ が虚 2 次体の判別式なら除くものは出ない）
残った形式の個数が $h (D)$

例題

虚 2 次体 $Q (- 47)$ の類数 $h$ を、判別式 $- 47$ の簡約 2 次形式を数えることで求めよ。

例題の解答

手順 1: $- 47 \equiv 1 (mod 4)$ なので判別式は $D = - 47$ 、 $∣ D ∣ = 47$ である。

手順 2: $a \leq 47/3 = 15.66 \dots < 4$ より $a \in {1, 2, 3}$ 。 $D$ は奇数なので $b$ は奇数。

手順 3・4: $c = \frac{b ^{2} + 47}{4 a}$ を調べる。
- $a = 1$ : $∣ b ∣ \leq 1$ で奇数なので $b = \pm 1$ 。 $∣ b ∣ = a$ なので $b = 1$ のみ。 $c = \frac{48}{4} = 12$ 。形式 $(1, 1, 12)$ 。
- $a = 2$ : $b = \pm 1$ 。 $c = \frac{48}{8} = 6$ 。 $∣ b ∣ < a < c$ なので $(2, 1, 6)$ と $(2, - 1, 6)$ の 2 つ。
- $a = 3$ : $b = \pm 1$ のとき $c = \frac{48}{12} = 4$ 。 $∣ b ∣ < a < c$ なので $(3, 1, 4)$ と $(3, - 1, 4)$ の 2 つ。 $b = \pm 3$ のとき $c = \frac{9 + 47}{12} = \frac{56}{12}$ は整数でないので不適。

手順 5: 5 つの形式はいずれも $g cd (a, b, c) = 1$ で原始的（ $- 47$ は体の判別式なので予想どおり）。

手順 6: 簡約形式は $(1, 1, 12), (2, \pm 1, 6), (3, \pm 1, 4)$ の 5 個なので $h (- 47) = 5$ 。これが $Q (- 47)$ の類数で、 $h = 5$ 。

答え: $5$

よくある誤り

$b$ の符号違いを 1 つにまとめてしまう誤り。正しくは $∣ b ∣ < a < c$ のとき $(a, b, c)$ と $(a, - b, c)$ は同値でない別の類で、たとえば $D = - 23$ では $(1, 1, 6), (2, 1, 3), (2, - 1, 3)$ の 3 個で $h (- 23) = 3$ となる（ $(2, \pm 1, 3)$ を 1 個と数えると 2 になってしまう）。
境界の形式を 2 回数えてしまう誤り。正しくは $∣ b ∣ = a$ または $a = c$ のときは $b \geq 0$ のものだけを数える。たとえば $D = - 20$ では $(2, 2, 3)$ と $(2, - 2, 3)$ は同値なので $(2, 2, 3)$ だけを数え、 $(1, 0, 5), (2, 2, 3)$ で $h (- 20) = 2$ 。
体の判別式ではなく $d$ そのものを使ってしまう誤り。正しくは $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ なら $D = 4 d$ で、 $Q (- 5)$ の類数は $D = - 5$ ではなく $D = - 20$ の形式で数える（ $- 5 \equiv 3 (mod 4)$ なので $b^{2} - 4 a c = - 5$ を満たす整数 $a, b, c$ はそもそも存在しない）。
体の判別式でない $D$ で原始性の確認を忘れる誤り。たとえば $D = - 12$ では $(1, 0, 3)$ と $(2, 2, 2)$ が簡約条件を満たすが、 $(2, 2, 2)$ は $g cd = 2$ で原始的でないので除き、 $h (- 12) = 1$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
整数係数の 2 元 2 次形式 $f (x, y) = a x^{2} + b x y + c y^{2}$ で、判別式が $b^{2} - 4 a c = - 31$ 、 $a > 0$ （したがって正定値）、 $g cd (a, b, c) = 1$ （原始的）であるものを考える。このような形式 $f$ が簡約であるとは、
$∣ b ∣ \leq a \leq c, かつ ∣ b ∣ = a または a = c のときは b \geq 0$
が成り立つことをいう。判別式 $- 31$ の正定値原始的な簡約形式 $(a, b, c)$ の個数、すなわち虚 2 次体 $Q (- 31)$ の類数 $h (- 31)$ を求めよ。

簡約 2 次形式による類数の計算

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題